构造识别特定{0,1}*语言的上下文无关文法（CFG）求助

语言A定义为：A = { w | w 长度为奇数且首、中、末符号相同 } ∪ {ε}，其中w∈{0,1}*。

正确的CFG构造方案 #

通过分层定义非终结符来精准匹配语言规则：

S → ε | C0 | C1
// C0生成首、中、末均为0的非空串
C0 → 0 | 0 B0 0
// C1生成首、中、末均为1的非空串
C1 → 1 | 1 B1 1
// B0生成所有长度为奇数且中间符号为0的字符串
B0 → 0 | 0 B0 0 | 0 B0 1 | 1 B0 0 | 1 B0 1
// B1生成所有长度为奇数且中间符号为1的字符串
B1 → 1 | 0 B1 0 | 0 B1 1 | 1 B1 0 | 1 B1 1

规则说明 #

1. 起始符号S：直接生成空串ε，或调用C0/C1生成符合条件的非空串。
2. C0/C1：
   • 基础规则：生成单个0/1（长度为1，首、中、末为同一符号，天然符合条件）。
   • 递归规则：在一个中间符号为0/1的奇数长度串（由B0/B1生成）首尾各添加0/1，确保新串首、末为0/1，中间符号继承自B0/B1的中间符号（仍为0/1），总长度保持奇数。
3. B0/B1：
   • 基础规则：生成单个0/1（长度为1，中间符号为自身）。
   • 递归规则：在已有的中间符号为0/1的奇数长度串首尾任意添加0或1，每次添加后串长增加2（仍为奇数），且中间符号保持不变，以此覆盖所有中间符号为0/1的奇数长度串。

验证示例 #

• 生成10101：C1 → 1 B1 1，B1 → 0 B1 0，B1 →1，最终得到1 0 1 0 1，首、中、末均为1，符合条件。
• 生成011101010：C0 →0 B0 0，B0通过多次首尾添加字符生成1110101（中间符号为0），最终得到0 1110101 0，首、中、末均为0，符合条件。
• 生成1：直接通过C1→1得到，符合条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者avukalov