使用scipy.signal.convolve为何出现远小于1/9的极小正值？

测试代码 #

import numpy as np
from skimage.io import imread
from scipy.signal import convolve

image = np.flipud(imread('conv-test.bmp').astype(np.float32))
con = convolve(image, np.ones((3, 3))/9, mode='valid')
print(image.min())
print(np.logical_and(image > 0, image < 1).any())
print(np.logical_and(con > 0, con < 0.00001).any())

运行输出 #

0.0
False
True

问题描述 #

原图像最小值为0，且不存在0到1之间的数值，使用3×3均值核（核值为1/9）进行valid模式卷积后，却出现了大于0且小于0.00001的正值。按理论最小正值应为1/9，这一现象如何解释？

原因解析 #

这种现象完全由浮点数精度限制和卷积运算的实现误差导致，具体如下：

• 浮点数无法精确表示1/9：1/9是无限循环的二进制小数，无法用float32（或任何二进制浮点数类型）精确存储，实际存储的是近似值。当对全0像素窗口卷积时，理论结果应为0，但九个近似的1/9与0相乘后相加的过程中，浮点数运算的舍入误差会累积出极小的非零正值。
• 卷积实现的误差放大：scipy.signal.convolve默认会根据输入尺寸自动选择计算方式（直接卷积或FFT加速）。当使用FFT完成卷积时，迭代计算过程中的浮点误差会进一步放大，导致原本应为0的结果出现微小偏移，表现为极小的正值。

验证方法 #

用全0图像可复现该现象：

import numpy as np
from scipy.signal import convolve

# 创建全0的float32图像
image = np.zeros((5, 5), dtype=np.float32)
# 3×3均值核卷积
con = convolve(image, np.ones((3, 3), dtype=np.float32)/9, mode='valid')
# 检查是否存在极小正值
print(np.logical_and(con > 0, con < 0.00001).any())  # 输出为True

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Paul Jurczak