已知圆心坐标、圆弧起点及夹角，求顺时针圆弧下一点坐标？

已知参数 #

• 起点坐标：$(x_s, y_s) = (1117, 453)$
• 圆心坐标：$(x_o, y_o) = (720, 853)$
• 顺时针旋转角度：$\theta = 3.6^\circ$
• 圆弧半径：$r ≈ 563$（已通过两点距离公式验证：$r = \sqrt{(x_s - x_o)^2 + (y_s - y_o)^2}$）

求解步骤 #

1. 计算起点相对圆心的偏移量
   先算出起点相对于圆心的坐标差：

   dx = x_s - x_o
   dy = y_s - y_o
   

   代入数值：$dx = 1117 - 720 = 397$，$dy = 453 - 853 = -400$

2. 应用顺时针旋转矩阵
   顺时针旋转$\theta$角度的旋转矩阵为：
   $$
   \begin{bmatrix}
   \cos\theta & \sin\theta \
   -\sin\theta & \cos\theta
   \end{bmatrix}
   $$
   用该矩阵计算旋转后的偏移量$(dx', dy')$：

   dx' = dx * cosθ + dy * sinθ
   dy' = -dx * sinθ + dy * cosθ
   

   注意：计算三角函数时需将角度转换为弧度，转换公式：$\text{弧度} = \text{角度} \times \pi / 180$，即$3.6^\circ = 3.6 \times \pi / 180 ≈ 0.0628$弧度

3. 转换为绝对坐标
   将旋转后的偏移量加回圆心坐标，得到下一点的绝对坐标：

   x_n = x_o + dx'
   y_n = y_o + dy'
   

示例计算 #

代入数值计算：

• $\cos(0.0628) ≈ 0.9980$，$\sin(0.0628) ≈ 0.0628$
• $dx' = 397*0.9980 + (-400)*0.0628 ≈ 396.206 - 25.12 ≈ 371.09$
• $dy' = -397*0.0628 + (-400)*0.9980 ≈ -24.93 - 399.2 ≈ -424.13$
• $x_n = 720 + 371.09 ≈ 1091.09$
• $y_n = 853 + (-424.13) ≈ 428.87$

最终下一点坐标约为$(1091.09, 428.87)$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pragyat Srivastava