如何解决Python中极小概率下二项式概率计算返回0的问题？

当使用SciPy 1.10.1版本计算小概率场景下的密码猜测成功率时（比如12位小写字母密码，单次猜测概率极低），直接调用1 - binom.pmf(k=0, n=..., p=...)会返回0.0，这是因为浮点数计算下溢导致(1-p)^n被舍入为0。以下是几种解决方法：

方法1：升级SciPy到最新版本 #

如补充说明所述，SciPy 1.11.2及以上版本已经修复了这个精度问题，直接使用原有代码即可得到正确结果：

from scipy.stats import binom
(1 - binom.pmf(k=0, n=1000000000*3600, p=1 / 26**12))

方法2：使用泊松近似公式 #

当n极大、p极小时，二项分布的0次成功概率(1-p)^n可以用泊松近似e^(-n*p)来替代，该公式不会出现浮点数下溢问题，计算精度足够：

import math
# 总猜测次数：1小时=3600秒，每秒10亿次
total_guesses = 1000000000 * 3600
# 单次猜测成功的概率：12位小写字母总可能数为26^12
single_prob = 1 / 26**12

# 计算成功概率
success_prob = 1 - math.exp(-total_guesses * single_prob)
print(success_prob)  # 输出约3.77e-5，即0.00377%

方法3：通过对数计算精确值 #

如果需要更精确的结果，可以先计算(1-p)^n的对数，再取指数避免下溢：

import math
total_guesses = 1000000000 * 3600
single_prob = 1 / 26**12

# 计算0次成功的概率的对数，再转为指数
log_zero_success = total_guesses * math.log(1 - single_prob)
zero_success_prob = math.exp(log_zero_success)
success_prob = 1 - zero_success_prob
print(success_prob)

该方法的结果与泊松近似几乎一致，因为当p极小时，math.log(1-p)近似等于-p，两者的误差可以忽略。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gh0stFish