连续变量乘积线性化及CPLEX OPL实现咨询：小数价格变量处理

一、处理带4-5位小数的price离散化 #

因为price最多有5位小数，直接缩放成整数是最实用的办法：

• 设缩放因子SCALE = 100000（对应5位小数，4位就用10000），把离散化后的price定义为整数变量price_int，连续变量price和它的关系是：price = price_int / SCALE
• 原约束price * time >= Ub转化为price_int * time >= Ub * SCALE，但这是整数×连续变量的乘积，还得用大M法线性化。

整数×连续乘积的线性化步骤 #

1. 先确定price_int的取值范围：根据price的最小/最大值，算出x_low = floor(price_min * SCALE)，x_high = ceil(price_max * SCALE)
2. 引入二进制变量b[k]（k从x_low到x_high），保证只有一个b[k]取1，对应选中的price_int值
3. 添加约束把price_int和b[k]绑定，再把乘积约束拆分成多个线性约束

CPLEX OPL代码示例 #

// 参数定义
float Ub = ...; // 给定的阈值
float price_min = ...; // price的下限
float price_max = ...; // price的上限
int SCALE = 100000; // 5位小数缩放因子
int x_low = floor(price_min * SCALE);
int x_high = ceil(price_max * SCALE);
float M = ...; // time的上限值（取足够大的合理值）

// 变量定义
dvar int price_int in x_low..x_high;
dvar float time >= 0; // 假设time非负，按需调整范围
dvar boolean b[x_low..x_high];

// 约束集合
subject to {
  // 二进制变量只能选一个
  sum(k in x_low..x_high) b[k] == 1;
  // 绑定整数变量与二进制变量
  price_int == sum(k in x_low..x_high) k * b[k];
  // 线性化乘积约束：当b[k]=1时，k*time >= Ub*SCALE
  forall(k in x_low..x_high) {
    // 跳过k=0的情况（如果price不能为0可直接删）
    if (k != 0) {
      time >= (Ub * SCALE) / k - M * (1 - b[k]);
    } else {
      // 若Ub>0，k=0时约束不可能满足，直接禁止选这个值
      (Ub <= 0) || (b[k] == 0);
    }
  }
  // 如需输出连续price，直接计算：float price = price_int / SCALE;
}

二、正确实现price的floor值 #

你之前用sum(2^n-1)*p的方式逻辑不对，换缩放+整数变量的方法更直接：

dvar int price_floor_int;
dvar float price;

subject to {
  // 约束price*SCALE落在[price_floor_int, price_floor_int+SCALE-1]区间
  price_floor_int <= price * SCALE <= price_floor_int + SCALE - 1;
  // 得到floor值：float price_floor = price_floor_int / SCALE;
}

这样price_floor就是保留对应小数位数的price向下取整结果。

三、无需离散化price的线性化备选方案 #

如果不想把price转离散，也可以直接线性化连续×连续的乘积，引入辅助变量z=price*time，用大M法约束：

dvar float price >= price_min, <= price_max;
dvar float time >= time_min, <= time_max;
dvar float z;

subject to {
  z >= Ub;
  // 大M法约束z = price*time的线性近似
  z >= price_min * time + time_min * price - price_min * time_min;
  z >= price_max * time + time_max * price - price_max * time_max;
  z <= price_max * time + time_min * price - price_min * time_min;
  z <= price_min * time + time_max * price - price_max * time_max;
}

这种方法的精度取决于price和time的上下界，界越紧，线性化效果越好。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aida Bitaraf