在自身坐标系中实现平移旋转变换的逆操作（平移优先）

首先明确原变换序列（自身坐标系下）：先平移 T，再旋转 R。用线性变换的数学表达，对象上任意点 P 经过变换后的坐标为：

P' = R*(P + T)

现在要通过先平移、再逆旋转的序列将 P' 恢复为初始点 P。设调整后的平移向量为 T'，逆旋转变换为 inv(R)，则复位的变换过程可表示为：

P = inv(R)*(P' + T')

将 P' = R*(P + T) 代入上式并展开推导：

P = inv(R)*(R*(P + T) + T')
P = P + T + inv(R)*T'

要让等式成立，必须满足 T + inv(R)*T' = 0，进一步推导得到调整后的平移向量：

T' = -R*T

结论 #

• 旋转变换无需修改，仍使用原旋转的逆变换 inv(R)
• 平移变换需要调整为原平移向量经过原旋转变换后的负向量——也就是把原平移向量用原旋转矩阵/旋转变换处理后取反。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ChaosPredictor