为何链式法则在NumPy有限差分导数估计中不普遍成立？

先看示例代码的实际数值结果：

import numpy as np
x = np.array([1, 5, 6, 10])
f = x**2
grad1 = np.gradient(f, x)
grad2 = np.gradient(f) / np.gradient(x)

print("grad1:", grad1)  # 输出：[ 6.  10.  21.6 16. ]
print("grad2:", grad2)  # 输出：[ 6.   7.  15.  16. ]

中间两个点的差异直接指向问题核心——有限差分的近似逻辑和链式法则的连续形式存在适配性差异，具体原因拆解如下：

1. np.gradient(f, x)的非均匀网格计算逻辑 #

当传入非均匀坐标x时，np.gradient会针对每个点采用适配非均匀间距的差分策略：

• 端点：使用单侧差分，比如第一个点计算为(f[1]-f[0])/(x[1]-x[0])
• 内部点：采用加权中心差分，对左右两个单侧差分按相邻间距的反比加权平均，公式为：

  grad1[i] = [(f[i+1]-f[i])/(x[i+1]-x[i]) * (x[i]-x[i-1]) + (f[i]-f[i-1])/(x[i]-x[i-1]) * (x[i+1]-x[i])] / (x[i+1]-x[i-1])
  

  这种加权方式是为了在非均匀网格下提升梯度估计的准确性，比如示例中第二个点（x=5）的计算：

  [(36-25)/(6-5)*(5-1) + (25-1)/(5-1)*(6-5)]/(6-1) = (11*4 +6*1)/5 = 10.0
  

2. np.gradient(f)/np.gradient(x)的计算逻辑 #

这一方式是基于链式法则的连续形式df/dx = df/di * di/dx = (df/di)/(dx/di)，但所有差分都是基于均匀索引i的近似：

• np.gradient(f)：默认假设索引i的步长为1，对f做标准差分（内部点用中心差分(f[i+1]-f[i-1])/2，端点用单侧差分）
• np.gradient(x)：同样对x做基于索引i的差分，得到dx/di的近似值
• 两者相除得到df/dx的近似，但这种方式完全没有利用非均匀网格的间距信息做加权，比如示例中第二个点的计算：

  np.gradient(f)[1] = (36-1)/2 =17.5
  np.gradient(x)[1] = (6-1)/2 =2.5
  grad2[1] =17.5/2.5=7.0
  

3. 链式法则在这里“失效”的本质原因 #

链式法则的连续形式是严格成立的，但有限差分是对导数的近似，不同近似策略的误差来源和适配场景完全不同：

• 当x是均匀网格时，np.gradient(f, x)等价于np.gradient(f)/dx（dx为均匀步长），此时grad1和grad2结果一致——因为加权差分退化为普通中心差分，np.gradient(x)的结果全为dx
• 当x非均匀时，np.gradient(f, x)的加权差分是专门针对非均匀网格优化的近似，而np.gradient(f)/np.gradient(x)是基于均匀索引的粗糙近似，两种方式的差分权重、误差控制逻辑不同，自然结果不等

你的推测完全正确：np.gradient(f, x)不假设x均匀，而np.gradient(f)/np.gradient(x)的链式法则应用隐含了“索引i是均匀步长”的假设，没有适配非均匀网格的间距加权，最终导致结果差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user5162426