如何对决策变量应用取整函数并线性化含取整函数的约束

一、Floor函数的线性化（y = floor(x)） #

假设x是连续决策变量，y是整数决策变量，要实现y等于x的向下取整值（即y是不大于x的最大整数，比如x=4.2时y=4），需要添加以下3组约束：

• y ≤ x：确保y不会超过x的取值
• x ≤ y + 1 - ε：这里的ε是一个极小的正数（例如1e-6），用来替代严格不等式x < y+1——因为线性规划求解器不支持严格约束，用这个近似可以避免整数边界的精度问题
• y ∈ ℤ：明确声明y必须是整数类型的决策变量

示例验证：当x=4.2时，代入约束：

1. y ≤4.2
2. 4.2 ≤ y +1 -0.000001 → 计算得y ≥3.200001
   结合y是整数的要求，y只能取4，完全符合需求。

二、Ceiling函数的线性化（y = ceiling(x)） #

如果要实现y等于x的向上取整值（即y是不小于x的最小整数，比如x=4.2时y=5），同样用连续变量x和整数变量y，添加以下约束：

• y ≥ x：确保y不会小于x的取值
• x ≥ y -1 + ε：用该式替代严格不等式x > y-1，ε取极小正数（如1e-6）
• y ∈ ℤ：声明y为整数决策变量

示例验证：当x=4.2时，代入约束：

1. y ≥4.2
2. 4.2 ≥ y -1 +0.000001 → 计算得y ≤5.199999
   结合整数要求，y只能取5，符合预期。

三、含Floor/Ceiling的约束线性化 #

如果原约束中直接包含Floor或Ceiling函数（例如floor(x) ≤ z或z ≤ ceiling(x)），可以按以下步骤处理：

1. 引入整数变量y，让y等于对应的Floor/Ceiling值（按上述两种情况添加约束）
2. 将原约束中的Floor/Ceiling函数替换为y，得到线性约束（比如y ≤ z或z ≤ y）

注意事项 #

• ε的取值要合理：太小可能触发求解器的精度误差，太大可能导致逻辑偏差，通常取1e-6到1e-9之间，可根据求解器的精度调整
• 必须确保y被声明为整数变量，否则无法实现取整效果

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bimal