如何通过Bicubic Interpolation计算中间点f(0.5,0.5)？求测试用例

核心前提 #

双三次插值需要目标点周围4×4共16个已知网格点的4类值：

• 函数值 f(i,j)（i,j为网格点索引，范围0-3）
• x方向偏导 f_x(i,j)
• y方向偏导 f_y(i,j)
• 混合偏导 f_xy(i,j)

假设目标点位于网格的(0,0)-(1,1)单元格内，相对坐标为(x=0.5, y=0.5)（即距离单元格左下角的比例）。

步骤1：计算一维三次基函数值 #

双三次插值的核心是一维三次基函数的张量积，四个基函数为：

h00(t) = 1 - 3t² + 2t³
h10(t) = t - 2t² + t³
h01(t) = 3t² - 2t³
h11(t) = -t² + t³

代入t=0.5（目标点的相对x/y坐标），得到：

• h00(0.5) = 1 - 3*(0.5)² + 2*(0.5)³ = 0.5
• h10(0.5) = 0.5 - 2*(0.5)² + (0.5)³ = 0.125
• h01(0.5) = 3*(0.5)² - 2*(0.5)³ = 0.5
• h11(0.5) = -(0.5)² + (0.5)³ = -0.125

将这些值组成向量：H = [0.5, 0.125, 0.5, -0.125]

步骤2：构造16维系数矩阵 #

将4×4网格点的4类值按顺序排列成4×4矩阵（每个单元格存储[f, f_x, f_y, f_xy]），或者整理为16×1的向量。通常的排列规则是：按行遍历网格点，每个点依次存入f(i,j)、f_x(i,j)、f_y(i,j)、f_xy(i,j)。

例如，网格点(0,0)对应向量前4个元素：[f(0,0), f_x(0,0), f_y(0,0), f_xy(0,0)]，网格点(0,1)对应接下来4个元素，以此类推直到网格点(3,3)。

步骤3：执行插值计算 #

双三次插值的最终值可通过张量积计算：

f(0.5, 0.5) = H × M × H^T

其中：

• H是步骤1得到的行向量
• M是4×4的系数矩阵，每行对应一个网格点的4类值
• H^T是H的转置列向量

简化计算方式（逐行逐列插值） #

1. x方向插值：对4个y行（j=0到3），分别用H向量与该行的4个点的4类值做点积，得到4个中间值g0, g1, g2, g3
2. y方向插值：用H向量与[g0, g1, g2, g3]对应的y方向偏导等组成的向量做点积，最终得到目标值

测试用例验证 #

测试用例1：常数函数 #

已知所有4×4网格点的f(i,j)=1，f_x(i,j)=0，f_y(i,j)=0，f_xy(i,j)=0。
计算过程：

• x方向每行插值结果：g_j = 0.5*1 + 0.125*0 + 0.5*1 + (-0.125)*0 = 1（4个行结果均为1）
• y方向插值结果：0.5*1 + 0.125*0 + 0.5*1 + (-0.125)*0 = 1
• 预期结果：1，与计算一致。

测试用例2：线性函数f(x,y)=x+y #

已知网格点f(i,j)=i+j，f_x(i,j)=1，f_y(i,j)=1，f_xy(i,j)=0，目标点(0.5,0.5)预期值为1。
计算过程（取网格点i=0-3, j=0-3）：

• 对y=0行（点(0,0):0, (1,0):1, (2,0):2, (3,0):3），x方向插值：
  g0 = 0.5*0 + 0.125*1 + 0.5*1 + (-0.125)*1 = 0 + 0.125 + 0.5 - 0.125 = 0.5
• 对y=1行（点(0,1):1, (1,1):2, (2,1):3, (3,1):4），x方向插值：
  g1 = 0.5*1 + 0.125*1 + 0.5*2 + (-0.125)*1 = 0.5 + 0.125 + 1 - 0.125 = 1.5
• 对y=2行，x方向插值结果g2=2.5；y=3行结果g3=3.5
• y方向插值：
  f(0.5,0.5) = 0.5*0.5 + 0.125*1 + 0.5*1.5 + (-0.125)*1
  计算：0.25 + 0.125 + 0.75 - 0.125 = 1
• 预期结果：1，与计算一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Razark