已知4变量解法，能否用少于4个含S变量构造语言L的正则文法？

要构造语言 ( L = {a^n b^m : n,m \geq 0, n+m \text{ 为奇数}} ) 的正则文法，首先明确该语言的核心约束：

• 所有字符串必须是若干a（可0个）后跟若干b（可0个），不能出现b之后再跟a的情况；
• 字符串总长度 ( n+m ) 为奇数，即要么「a的个数为奇数且b的个数为偶数」，要么「a的个数为偶数且b的个数为奇数」。

分析最小状态需求 #

正则文法的变量对应有限自动机（DFA）的状态，而该语言的最小DFA需要4个状态，分别对应：

1. ( S )（起始状态）：未输出b，已输出a的个数为偶数（总长度偶数）；
2. ( A )：未输出b，已输出a的个数为奇数（总长度奇数，属于接受状态）；
3. ( B )：已输出b，总长度为奇数（属于接受状态）；
4. ( C )：已输出b，总长度为偶数。

这4个状态无法合并，原因如下：

• ( S ) 和 ( C )：( S ) 可继续输出a进入 ( A )，但 ( C ) 已进入b输出阶段，不能再输出a，转移行为不同；
• ( A ) 和 ( B )：( A ) 可继续输出a回到 ( S )，但 ( B ) 已进入b输出阶段，不能再输出a，转移行为不同；
• 接受状态（( A )、( B )）与非接受状态（( S )、( C )）可通过是否能直接结束区分。

对应的4变量正则文法 #

右线性文法规则示例：

• ( S \rightarrow aA \mid bB )
• ( A \rightarrow aS \mid \varepsilon \mid bC )
• ( B \rightarrow bC \mid \varepsilon )
• ( C \rightarrow bB )

该文法完整覆盖了语言 ( L ) 的所有合法字符串，且由于最小DFA的状态数为4，不存在状态合并的可能，因此无法用少于4个变量构造符合要求的正则文法。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Flash-KIM142