如何用SymPy积分分段函数获取瑞利分布CDF

基础信息 #

• 瑞利分布PDF：分段函数，当$s>0$时，$f(s) = s e^{-\frac{s2}{2}}$；当$s \leq 0$时，$f(s)=0$
• CDF计算公式：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(s) ds$
• 预期CDF结果：分段函数，当$x \leq 0$时，$F(x)=0$；当$x>0$时，$F(x)=1 - e^{-\frac{x2}{2}}$

尝试的代码及错误结果 #

代码1：分段函数方式 #

import sympy as smp

x, s, y, z, u, v, w = smp.symbols('x, s, y, z, u, v, w', real=True)
expr = smp.Piecewise((s*smp.E**((-s**2)/2), smp.StrictGreaterThan(s, 0)), (0, smp.LessThan(s, 0)))
res = smp.integrate(expr, (s, -(smp.oo), x))

• 错误结果：得到的积分结果包含错误的分段逻辑，不符合预期的CDF形式

代码2：非分段函数方式 #

import sympy as smp

x, s, y, z, u, v, w = smp.symbols('x, s, y, z, u, v, w', real=True)
expr = s*smp.E**((-s**2)/2)
res = smp.integrate(expr, (s, -(smp.oo), x), manual=True)

• 错误结果：积分结果为$e^{-\frac{x2}{2}}$，与预期的$1 - e^{-\frac{x2}{2}}$不符

疑问 #

如何用SymPy得到正确的瑞利分布CDF结果？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Omnia Vanitas