标准正态分布缩放：调整X轴范围后匹配原分布形态的实现问题

问题概述 #

需要将原本X轴范围[-5,5]、步长0.01的标准正态分布密度直方图，修改为X轴范围[-500,500]、步长1，同时保持形态一致，且X=0处的Y值约为0.004。尝试按“X轴放大100倍则Y轴缩小100倍”的方法修改后未达预期，同时疑问缩放后的分布是否仍为正态分布。

原代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

np.random.seed(2023)
a = np.random.normal(0, 1, 100000)
sns.histplot(a, bins=np.arange(-5, 5, 0.01), stat='density', color='red')
plt.title("Standard Normal Distribution")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)', rotation=0)
plt.show()

关键逻辑与解决方案 #

1. 概率密度的缩放规则 #

当把随机变量X缩放为X' = k*X时，新分布的概率密度函数（PDF）满足：f'(x') = (1/k) * f(x'/k)。这里X轴放大了100倍（k=100），因此：

• 原标准正态数据需乘以100，得到对应[-500,500]范围的样本
• 新PDF在x=0处的值为原标准正态PDF值（≈0.3989）除以100，正好≈0.004，符合需求

2. 修改后的可运行代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

np.random.seed(2023)
# 将原标准正态样本缩放100倍，匹配新X轴范围
scaled_data = np.random.normal(0, 1, 100000) * 100
# 设置新的bins：从-500到500，步长1（结束值设为501才能包含500）
bins = np.arange(-500, 501, 1)
# 用stat='density'自动计算缩放后的密度值
sns.histplot(scaled_data, bins=bins, stat='density', color='red')
plt.title("Scaled Normal Distribution (μ=0, σ=100)")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('F(x)', rotation=0)
plt.show()

3. 关于分布的疑问 #

缩放后的分布属于正态分布，是均值为0、标准差为100的正态分布，其PDF完全符合正态分布的形式，只是标准差被放大了100倍，因此整体形态和原标准正态分布一致，只是坐标轴缩放了比例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Laulito