如何在R中根据概率密度计算自定义连续分布的均值（期望）

已定义的概率密度函数 #

你已经实现了分段概率密度函数（PDF）的R代码：

myfunc <- function(x){
  ifelse(x >= 0 & x < 0.5, 1,
         ifelse (x >= 0.5 & x < 1, 0.2,
                 ifelse(x >= 1 & x < 2, 0.8*(x-1), 0)))
}

方法一：通过积分计算精确期望 #

期望的数学定义是 $E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) dx$，由于该PDF仅在$[0,2]$区间非零，我们可以直接用R内置的integrate()函数计算：

# 定义被积函数：自变量x乘以对应的概率密度值
integrand <- function(x) x * myfunc(x)

# 计算0到2区间的积分
ev_integral <- integrate(integrand, lower = 0, upper = 2)
print(ev_integral)

运行结果会输出精确的期望数值（约为0.8667，即26/30），和你手动计算的结果一致。

方法二：蒙特卡洛模拟估算期望 #

通过大量模拟该分布的随机样本，计算样本均值即可逼近真实期望，核心是用逆变换采样法生成符合该分布的样本：

1. 定义累积分布函数（CDF） #

根据PDF分段推导CDF：

mycdf <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0,
         ifelse(x >=0 & x <0.5, x,
                ifelse(x >=0.5 & x <1, 0.2*x + 0.4,
                       ifelse(x >=1 & x <2, 0.6 + 0.4*(x-1)^2, 1))))
}

2. 定义CDF的逆函数（用于采样） #

求解$u=F(x)$的逆，得到从均匀分布到目标分布的映射：

inv_cdf <- function(u){
  ifelse(u < 0.5, u,
         ifelse(u >=0.5 & u <0.6, 5*u - 2,
                ifelse(u >=0.6 & u <1, 1 + sqrt((u - 0.6)/0.4), NA)))
}

3. 生成样本并计算均值 #

生成大量均匀随机数，代入逆CDF得到目标样本，再计算样本均值：

# 设置随机种子保证结果可复现
set.seed(123)
# 生成100万个样本（样本量越大，结果越精确）
n_samples <- 1e6
u_samples <- runif(n_samples)
x_samples <- inv_cdf(u_samples)

# 计算样本均值
ev_sim <- mean(x_samples)
print(ev_sim)

运行后得到的样本均值会接近0.867，样本量越大，结果越接近真实期望。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reader 123