Numpy eigh返回非正规矩阵，如何获取纯旋转矩阵？

问题背景 #

你尝试用numpy.linalg.eigh的特征向量矩阵作为旋转矩阵，但发现它的行列式为-1（约-0.99999999999），属于包含反射的正交变换，而非纯旋转矩阵（行列式应为1）。验证代码如下：

import numpy as np

GG = np.array([[2.0, 0.146, 0.0064],
               [0.146, -1.0, 0.0003],
               [0.0064, 0.0003, -1.0]])
vals, vecs = np.linalg.eigh(GG)
np.linalg.det(vecs)

原因解释 #

这不是求解器的问题，是正交矩阵的数学特性：

• np.linalg.eigh针对对称/Hermitian矩阵求解，返回的特征向量矩阵是正交矩阵（实数域下）。正交矩阵的行列式只能是1或-1：行列式为1对应纯旋转，为-1则是旋转加反射的组合。
• 矩阵是否无迹和这个现象无关，你的示例矩阵迹为0只是巧合，不管矩阵迹如何，正交矩阵的行列式都可能是±1。

解决方法 #

要得到纯旋转矩阵，只需要将特征向量矩阵的任意一列乘以-1即可——因为行列式是多线性函数，某一列乘-1会让行列式整体变号，同时矩阵依然保持正交性，且不改变特征向量的有效性（特征向量乘以非零标量仍然是原特征值对应的特征向量）。

修改后的代码示例：

import numpy as np

GG = np.array([[2.0, 0.146, 0.0064],
               [0.146, -1.0, 0.0003],
               [0.0064, 0.0003, -1.0]])
vals, vecs = np.linalg.eigh(GG)

# 检查行列式，若为负则翻转任意一列
if np.linalg.det(vecs) < 0:
    vecs[:, 0] *= -1  # 选择第一列，选任意列都可以

print(np.linalg.det(vecs))  # 输出约1.0，满足纯旋转矩阵要求

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rodney Price