约瑟夫环问题变体：是否所有位置都存在对应k成为幸存位？

本文讨论约瑟夫环（Josephus Problem）的一种变体：不再求解幸存者的初始位置 p_survive，而是通过调整步长间隔 k，验证以下命题是否成立：

对于环中的任意位置 p，均存在 k 值使得 p = p_survive。

从直观判断该命题似乎成立，但目前缺乏严谨的证明或证伪依据，特此寻求技术层面的帮助。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者twc00