关于2^3logn与6^logn的运行时间对比及化简疑问

首先纠正你一个指数运算的错误：你把2^(3logn)化简为8(2^logn)是不对的。指数运算法则中，a^(b*c)=(a^b)^c，而非a^b * a^c，正确的化简应该是：
2^(3logn) = (2^logn)^3
如果默认log是以2为底（算法分析中常用默认），那么2^log2(n)=n，因此这个式子最终化简为n³，和你最初的n³完全一致。

接下来化简6^logn：
利用指数对数转换公式a^log_b(c) = c^log_b(a)，同样以2为底的log为例：
6^log2(n) = n^log2(6)
计算得log2(6)≈2.585，所以这个式子等价于n^2.585。

增长趋势对比 #

当n趋近于无穷大时，多项式函数的增长速度由指数决定：

• 2^(3logn)=n³的指数是3
• 6^logn≈n^2.585的指数约为2.585

因为3>2.585，所以n³的增长速度远快于n^2.585。也就是说，当n足够大时，6^logn的运行时间会比2^(3logn)更短，性能更优。

通用情况（不限制log底数） #

不管log的底数k是多少（只要k>1），我们可以通过换底公式推导：

• 2^(3log_k n) = n^(3log_k 2)
• 6^(log_k n) = n^(log_k 6)

比较两个指数：3log_k2 和 log_k6。因为log_k6=log_k2 + log_k3，所以3log_k2 - log_k6 = 2log_k2 - log_k3 = log_k(4/3) > 0（由于4/3>1，k>1，对数结果为正）。这说明3log_k2 > log_k6，因此n^(3log_k2)的增长速度始终快于n^(log_k6)，结论不变：6^logn的性能更好。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者liceEater