如何用数学方法判断指定关系模式分解是否保持依赖？

一、保持依赖分解的核心定义 #

分解后的子模式对应函数依赖集的并集的闭包，与原函数依赖集F的闭包相等——换句话说，原F中的所有依赖都能通过分解后的子模式的依赖推导得出。实际判断时，只需验证F中的每个函数依赖X→Y，X关于分解后依赖的属性闭包都包含Y。

二、已知条件 #

• 原关系模式：R = (A, B, C, D, E, H, I)
• 原函数依赖集：F = {A→B, C→D, CD→E, BD→AH, H→D, AC→H}
• 分解后的子模式：R₁=(A,B,C,D,I)，R₂=(B,C,E,H)

三、步骤1：计算子模式上的投影依赖集 #

投影依赖集π_Ri(F)是原F的闭包中，所有属性都属于Ri的函数依赖：

• π_R₁(F)（仅包含A,B,C,D,I的依赖）：
  从F及其闭包中筛选，得到非平凡依赖：A→B、C→D、BD→A（由原依赖BD→AH推导得出BD→A，A属于R₁）。
• π_R₂(F)（仅包含B,C,E,H的依赖）：
  原F及闭包中无符合要求的非平凡依赖（所有原依赖的左部或右部包含R₂外的属性，如CD→E含D，AC→H含A等），仅存在平凡依赖（如X→X）。

分解后的总依赖集为：F₁∪F₂ = {A→B, C→D, BD→A} ∪ 平凡依赖。

四、步骤2：逐一验证原F中的依赖是否被保持 #

对每个X→Y∈F，计算X关于F₁∪F₂的属性闭包X⁺，判断Y是否完全包含于X⁺：

1. A→B：
   A⁺ = {A,B}（由F₁中的A→B推导），包含B，依赖被保持。
2. C→D：
   C⁺ = {C,D}（由F₁中的C→D推导），包含D，依赖被保持。
3. CD→E：
   CD⁺ = {C,D}（F₁中仅C→D，无其他可推导的属性），不包含E，依赖未被保持。
4. BD→AH：
   BD⁺ = {B,D,A}（由F₁中的BD→A、A→B推导），不包含H，依赖未被保持。
5. H→D：
   H⁺ = {H}（F₁∪F₂中无关于H的非平凡依赖），不包含D，依赖未被保持。
6. AC→H：
   AC⁺ = {A,B,C,D}（由F₁中的A→B、C→D推导），不包含H，依赖未被保持。

五、结论 #

该分解未保持原函数依赖集F中的多个依赖（CD→E、BD→AH、H→D、AC→H），因此不是保持依赖的分解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alan Costa Grey