CVXPY求解正定二次规划误判无界的原因及调试问询

我遇到一种特殊情况：对于一个确定存在解的二次规划问题，CVXPY返回了None解，状态为unbounded。
因无法输入LaTeX，约定@表示矩阵乘法，.T表示转置，小写字母为列向量，大写字母为矩阵。我要求解的最小化问题形式为：

min_w ( w.T @ A @ w + 2 w.T @ b )

当A为对称正定矩阵时，该问题应有解。通过配方可重构为：

min_w ( (U.T @ w + c).T @ (U.T @ w + c) - c.T @ c )

其中c = U^(-1) @ b，A = U @ U.T，U是特征向量矩阵乘以包含特征值平方根的对角矩阵。

但在以下示例中，A为对称正定矩阵，CVXPY却无法找到解：

import numpy as np
import cvxpy as cp

A = np.array([
    [4.06361264e-05, 4.78152602e-05, 3.58988931e-05, 3.45978540e-05, 4.56347190e-05, 3.30402841e-05],
    [4.78152602e-05, 6.20243040e-05, 4.44641914e-05, 4.39168274e-05, 5.87695986e-05, 4.13444571e-05],
    [3.58988931e-05, 4.44641914e-05, 5.11820897e-05, 3.16788337e-05, 4.22214735e-05, 3.07681460e-05],
    [3.45978540e-05, 4.39168274e-05, 3.16788337e-05, 3.43880152e-05, 4.18058439e-05, 3.05503889e-05],
    [4.56347190e-05, 5.87695986e-05, 4.22214735e-05, 4.18058439e-05, 5.68791131e-05, 3.93696860e-05],
    [3.30402841e-05, 4.13444571e-05, 3.07681460e-05, 3.05503889e-05, 3.93696860e-05, 3.06327553e-05]
])

K = np.array([
    [4.37566619e-05, 2.69688463e-05, 4.38180809e-05],
    [5.45281929e-05, 3.46869714e-05, 5.63081373e-05],
    [4.43561108e-05, 2.42773248e-05, 4.05177865e-05],
    [3.92084931e-05, 2.55688144e-05, 3.98470925e-05],
    [5.20176190e-05, 3.29607102e-05, 5.30698420e-05],
    [3.72710707e-05, 2.41940081e-05, 3.80516226e-05]
])
h = np.array([ 5151.2868695 ,  1970.57848573, 10322.36834168])
b = K @ h

w = cp.Variable(len(A))
objective_1 = cp.Minimize(w @ A @ w + 2 * w @ b)
constraints = [True]
prob = cp.Problem(objective_1, constraints)
prob.solve()
solution = w.value

print(f"Solution: {solution}, status: {prob.status}")

输出结果：

Solution: None, status: unbounded

A的条件数并不差，我有三个疑问：

1. 这类问题的原因是什么？是浮点数运算问题吗？
2. 作为CVXPY和二次编程新手，该如何调试这种应有解但求解器找不到解的情况？
3. 是否我有误判，该问题实际确实无解？

问题解答 #

1. 问题原因：浮点数精度与量级失衡 #

你的A矩阵理论上是对称正定，但实际浮点数计算中存在两个关键问题：

• 正定性判定的容差问题：求解器对矩阵正定性的判定有数值容差，若A的特征值非常接近0（甚至因舍入误差出现极小负值），会被误判为半正定或不定矩阵，进而认为目标函数可能无下界。
• 目标函数量级失衡：二次项系数是1e-5级别，而线性项2*w@b中，h的数值是数千级别，导致线性项量级远大于二次项。这种失衡会让求解器在数值计算中难以稳定捕捉二次项的凸性，最终误判问题无界。

2. 调试方法 #

• 验证矩阵正定性：用np.linalg.eigvalsh(A)计算A的特征值，确认所有特征值严格大于0且远离浮点数精度阈值（如1e-10）。若有特征值接近0，可给A添加小正则项，比如A + 1e-8*np.eye(len(A))，强化正定性。
• 缩放目标函数：将A和b同时放大相同倍数（如1e5），让二次项和线性项量级统一，避免数值计算不稳定。
• 更换求解器：CVXPY默认求解器对数值敏感问题表现有限，可尝试指定prob.solve(solver=cp.ECOS)或prob.solve(solver=cp.SCS)，不同求解器的数值稳定性差异较大。
• 手动计算解析解验证：无约束二次规划的解析解为w = -A^{-1}@b，计算该解并代入目标函数，确认能得到有限最小值，以此验证问题有解。

3. 问题是否真的无解？ #

该问题必然有解。因为A是对称正定矩阵，目标函数是严格凸二次函数，无约束下存在唯一最小值点。出现unbounded状态完全是求解器的数值误判，而非问题本身无解。你可以手动计算解析解验证：

w_opt = -np.linalg.inv(A) @ b
print(w_opt)

代入目标函数会得到有限的最小值，证明问题存在解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Marses