statsmodels中ARIMA模型拟合值的计算方式技术咨询

问题背景 #

给定随机生成的序列：

series = array([ 1.76405235,  0.40015721,  0.97873798,  2.2408932 ,  1.86755799,
       -0.97727788,  0.95008842, -0.15135721, -0.10321885,  0.4105985 ])

拟合AR(1)模型：

import statsmodels.api as sm
model = sm.tsa.ARIMA(series, order=(1,0,0)).fit()
parameters = model.params
fitted_values = model.fittedvalues

存在两个疑问：

• 为何用model.params[0] + model.params[1]*series[i-1]无法得到正确的拟合值？
• 为何fitted_values[0]与model.params[0]相等？

解答 #

Statsmodels中ARIMA模型的拟合值（样本内一步预测值）通过卡尔曼滤波计算，而非简单的原始序列滞后项递推，具体逻辑如下：

1. 第一个拟合值的由来
   序列第一个观测点（索引0）没有前一期观测数据，卡尔曼滤波会将初始拟合值直接设为模型的截距项（即model.params[0]），这就是两者相等的原因。

2. 后续拟合值的计算逻辑
   从第二个观测点（索引1）开始，拟合值依赖前一期的拟合值而非原始序列的前一期值，公式为：

   fitted_values[i] = parameters[0] + parameters[1] * fitted_values[i-1]
   

   这和你尝试的原始序列滞后项计算方式不同——卡尔曼滤波基于之前的预测结果（拟合值）更新当前预测，而非直接使用原始观测的滞后项，因此用series[i-1]代入会得到错误结果。

补充说明 #

如果想要得到基于原始序列滞后项的拟合值（条件最小二乘法下的结果），可以手动计算：

• 索引≥1的点：parameters[0] + parameters[1] * series[i-1]
• 第一个点：使用AR(1)模型的无条件均值 parameters[0]/(1 - parameters[1])
  这种计算结果和statsmodels的fittedvalues会有差异，因为两者初始条件与计算逻辑不同。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者simo