使用MATLAB符号工具箱推导无量纲数间的函数关系

问题概述 #

我正在使用MATLAB符号工具箱整理方程，目标是推导三个无量纲数$\Pi_1$、$\Pi_2$、$\Pi_3$之间的函数关系，最终得到$\boldsymbol{\Pi_1 = f(\Pi_2, \Pi_3)}$的形式。

三个无量纲数的定义：

• $\Pi_1 = \frac{\tau}{\rho V^2}$
• $\Pi_2 = \frac{\rho V H}{\mu}$
• $\Pi_3 = \frac{\frac{dP}{dx} \cdot H}{\rho V^2}$

各物理量的关联方程（$\frac{dP}{dx}$为常数）：

• $V = \frac{u + v}{2} - \frac{H^2}{12\mu}\frac{dP}{dx}$（其中$u$、$v$分别替代$V_1$、$V_2$）
• $\tau = \frac{H}{2}\frac{dP}{dx} + \frac{\mu(u - v)}{2}$

初始实现代码 #

syms V u v H mu rho dPdx tau % u和v分别替代V1和V2
eqn1 = Pi_1 == tau/(rho*V^2);
eqn2 = Pi_2 == (rho*V*H)/mu;
eqn3 = Pi_3 == (dPdx*H)/(rho*V^2);

eqnA = V == (u+v)/2 - H^2/(12*mu)*dPdx;
eqnB = tau == (H/2)*dPdx + mu*(u-v)/2;

A = solve(eqn1,tau);
B = solve(eqn2,V);
C = solve(eqn3,dPdx);

eqnA2 = subs(eqnA,[V,dPdx],[B,subs(C,V,B)]);
eqnB2 = subs(subs(eqnB,dPdx,C),V,B);

eqns = [eqnA2;eqnB2];

S = solve(eqns);
u = S.u;   % V1
v = S.v;   % V2

遇到的问题 #

将求解得到的$u$和$v$代入eqnB并尝试求解$\Pi_1$时，仅得到$\Pi_1 = \Pi_1$的恒等式，无法推导出预期的$\Pi_1$与$\Pi_2$、$\Pi_3$之间的函数关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WnGatRC456