如何约束三次回归模型经过指定点？（statsmodels/sklearn实现）

方法一：使用statsmodels的约束回归 #

原三次模型为：

y = β₀ + β₁x + β₂x² + β₃x³ + ε

根据约束条件 f(0)=10 和 f(8)=60，可转化为两个线性约束：

1. β₀ = 10
2. β₀ + 8β₁ + 64β₂ + 512β₃ = 60

借助statsmodels的OLS类结合fit_constrained方法即可实现带约束的拟合：

import statsmodels.api as sm
import random
import pandas as pd

# 生成可复现的测试数据
random.seed(42)
df = pd.DataFrame({
    'y': [x**2 + random.gauss(0, 2) for x in range(10)],
    'x': [x for x in range(10)]
})

# 构造包含截距项、x、x²、x³的自变量矩阵
X = sm.add_constant(pd.DataFrame({
    'x': df['x'],
    'x2': df['x']**2,
    'x3': df['x']**3
}))

# 定义约束条件字符串
constraints = [
    'const = 10',
    'const + 8*x + 64*x2 + 512*x3 = 60'
]

# 拟合带约束的模型
model = sm.OLS(df['y'], X).fit_constrained(constraints)

# 生成预测值并可视化
df['pred'] = model.predict(X)
df.set_index('x').plot()

方法二：重构变量后使用sklearn线性回归 #

通过变量替换将约束逻辑融入模型，转化为无约束回归问题：

1. 由f(0)=10，令 y' = y - 10，模型简化为 y' = β₁x + β₂x² + β₃x³ + ε
2. 由f(8)=60代入得 10 + 8β₁ + 64β₂ + 512β₃ = 60，进一步推导得 β₁ = 6.25 - 8β₂ - 64β₃
3. 将β₁代入y'的模型，整理得到无约束的二元线性模型：y' - 6.25x = β₂(x² - 8x) + β₃(x³ - 64x) + ε

使用sklearn拟合该模型后，再还原原三次模型的系数：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import random
import pandas as pd

random.seed(42)
df = pd.DataFrame({
    'y': [x**2 + random.gauss(0, 2) for x in range(10)],
    'x': [x for x in range(10)]
})

# 构造转换后的因变量和自变量
df['y_transform'] = df['y'] - 10 - 6.25 * df['x']
df['x2_transform'] = df['x']**2 - 8 * df['x']
df['x3_transform'] = df['x']**3 - 64 * df['x']

# 拟合无约束线性模型
X = df[['x2_transform', 'x3_transform']]
y = df['y_transform']
lr = LinearRegression(fit_intercept=False)
lr.fit(X, y)

# 还原原三次模型的系数
beta2 = lr.coef_[0]
beta3 = lr.coef_[1]
beta1 = 6.25 - 8*beta2 - 64*beta3
beta0 = 10

# 定义预测函数并生成预测值
def predict_f(x):
    return beta0 + beta1*x + beta2*x**2 + beta3*x**3

df['pred'] = df['x'].apply(predict_f)
df.set_index('x').plot()

两种方法均能保证拟合的模型严格满足f(0)=10和f(8)=60的约束，同时尽可能贴合原始数据。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ℕʘʘḆḽḘ