如何创建两两夹角相等的3D向量及实现旋转调整方案

3D空间中存在两种典型的两两等夹角向量构型，分别对应共面和不共面场景：

共面构型（夹角120°） #

这类向量位于同一平面内，夹角固定为120°，步骤如下：

• 取第一个单位向量：v₁ = (1, 0, 0)
• 第二个向量由v₁绕z轴旋转120°得到：v₂ = (-1/2, √3/2, 0)
• 第三个向量由v₁绕z轴旋转240°得到：v₃ = (-1/2, -√3/2, 0)
  验证：任意两个向量的点积为-1/2，模长均为1，因此夹角为120°，满足两两相等。

不共面构型（夹角≈109.47°） #

这类向量对应正四面体的三个顶点方向，夹角余弦值为-1/3，步骤如下：

• 取第一个向量：v₁ = (1, 1, 1)
• 第二个向量：v₂ = (-1, -1, 1)
• 第三个向量：v₃ = (-1, 1, -1)
  验证：任意两个向量的点积为-1，模长均为√3，因此夹角余弦值为-1/3，满足两两相等。若需要单位向量，将三个向量分别除以√3即可。

已知初始三个等长向量均平行于y轴，设为单位向量v₀=(0,1,0)，其中一个向量绕x轴旋转45°后得到v₁，先计算v₁的坐标：
绕x轴旋转45°的旋转矩阵为：

[1,  0,        0      ]
[0, √2/2, -√2/2]
[0, √2/2,  √2/2]

代入v₀得到：v₁=(0, √2/2, √2/2)

通过以下步骤调整另外两个向量，使三者两两夹角相等：

1. 调整第二个向量：将v₀先绕x轴旋转45°，再绕z轴旋转120°。
   • 绕x轴旋转45°后得到：(0, √2/2, √2/2)
   • 再绕z轴旋转120°（旋转矩阵如下）：

     [cos120°, -sin120°, 0]
     [sin120°,  cos120°, 0]
     [0,        0,       1]
     

     计算得：v₂=(-√6/4, -√2/4, √2/2)
2. 调整第三个向量：将v₀先绕x轴旋转45°，再绕z轴旋转240°（或-120°），计算得：v₃=(√6/4, -√2/4, √2/2)

验证：三者两两点积均为1/4，模长均为1，因此夹角余弦值为1/4，夹角≈75.52°，满足两两相等的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Marston