如何计算特征向量的范数？特征向量是否两两正交？手算方法请教

输入数据 #

eigenvalue
[1] 2.5897826 1.5156007 1.8060659 0.9620865 

eigenvector
[1][2]

[1] 0.2364211 0.178445138
[2] -0.1055865 -0.3364896 

注：原本含7组特征值与特征向量，以上为简化展示内容。

问题1：特征向量的范数计算及后续操作 #

通常我们计算的是欧几里得范数（L2范数），你已经完成了核心步骤：

• 计算特征向量所有元素的平方和
• 对平方和取平方根，得到的结果就是该特征向量的L2范数

你算出的0.836就是示例中特征向量[1]的L2范数。如果需要将特征向量归一化为单位范数特征向量（即范数为1），只需把该特征向量的每个元素除以这个范数即可。比如特征向量[1]的每个元素除以0.836，得到的新向量就是单位长度的特征向量。

若需计算其他类型范数（如L1范数，即元素绝对值之和），按对应范数定义执行即可。

问题2：特征向量两两正交的证明（手算方法） #

先明确前提：对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必然正交；若存在重特征值，同一特征值下的特征向量可通过施密特正交化处理得到正交向量。

手算验证正交性的核心方法是计算两个特征向量的点积（内积）：

1. 取两个待验证的特征向量，将它们对应位置的元素两两相乘
2. 把所有乘积相加，得到点积结果
3. 若点积结果为0（考虑数值计算的微小误差，接近0也可判定为正交），则两个特征向量正交

用你给出的示例特征向量（假设为完整7维向量）举例：将特征向量[1]的第i个元素与特征向量[2]的第i个元素相乘，把7组乘积全部相加，若结果趋近于0，就证明二者正交。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peter