为何R语言cor函数计算的相关系数与向量夹角余弦值存在差异？

皮尔逊相关系数（cor函数默认计算的是这个）的本质是中心化后向量的夹角余弦值，你直接用原始向量计算点积与范数的比值，没有做中心化处理，这是结果不一致的核心原因。

修正步骤 #

1. 对原始向量做中心化处理：每个元素减去该向量的均值
2. 用中心化后的向量计算点积除以范数乘积，结果就会和cor函数的输出一致

修正后的代码 #

data("anscombe")

x <- matrix(anscombe$x1)
y <- matrix(anscombe$y1)

# 输出皮尔逊相关系数
cor(x,y)

# 中心化向量
x_centered <- x - mean(x)
y_centered <- y - mean(y)

# 计算中心化后向量的夹角余弦值，与cor结果一致
(t(x_centered) %*% y_centered) / (norm(x_centered, type = 'f') * norm(y_centered, type = 'f'))

补充说明 #

皮尔逊相关系数的公式为：
cor(x,y) = cov(x,y) / (sd(x) * sd(y))

• 中心化后向量的点积等于(n-1)*cov(x,y)（n为样本量）
• 中心化后向量的F范数等于sqrt((n-1)*var(x))，两个范数的乘积为(n-1)*sd(x)*sd(y)
• 两者相除后，(n-1)项抵消，结果正好等于皮尔逊相关系数，也就是中心化向量的夹角余弦值

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kuru