为何调整binwidth后ggplot2可正确绘制离散数据经验概率？

背景说明 #

在教学中引导学生绘制离散数据的经验概率时，原本通过手动计算table(x)/length(x)得到概率后用geom_col绘图，目的是让学生理解stats::density的核密度平滑仅适用于连续数据，不适用于离散场景。但实际操作中发现，将geom_histogram的binwidth设置为离散数据的间隔（如示例中的1），结合after_stat(density)可以得到和手动计算完全一致的经验概率图。

以下是示例代码：

library(ggplot2)
x <- c(1,1,2,2,3,4,5,5,5)

# 手动计算经验概率并使用geom_col绘图
x_factor <- factor(x, 1:5) # 转换为因子以指定支持集
df <- data.frame(x = as.numeric(names(table(x_factor))),
                 p = as.numeric(table(x_factor))/length(x_factor))

ggplot(data = df) + 
  geom_col(aes(x = x, y = p)) 

# 使用stats::density绘制（统计角度不正确，因stats::density适用于连续变量）
ggplot(data = data.frame(x = x)) + 
  geom_histogram(aes(x = x , y = after_stat(density)))

# 调整binwidth后可正确绘制经验概率
ggplot(data = data.frame(x = x)) + 
  geom_histogram(aes(x = x, y = after_stat(density)), binwidth = 1)

疑问解答 #

1. 为何调整binwidth的代码能正确生成经验概率图？ #

离散数据的取值间隔固定（示例中为1），当设置binwidth=1时，每个直方图的bin刚好对应一个离散取值的范围（比如取值1对应[0.5,1.5)），每个bin内的样本计数就是该离散值的出现次数。

而after_stat(density)的计算逻辑为：
density = 计数 / (总样本量 × binwidth)
当binwidth=1时，公式简化为计数/总样本量，这正是离散数据的经验概率，因此最终绘图结果和手动计算完全一致。

2. 该示例中geom_histogram()与after_stat(density)的组合如何工作？ #

• geom_histogram默认以**计数（count）**为y轴绘图，当在aes中指定y = after_stat(density)时，会触发ggplot的统计变换，计算每个bin的密度值。
• 这里的density统计量核心公式是：density = count / (sum(count) * binwidth)，其中sum(count)是总样本量，binwidth是每个bin的宽度。
• 离散场景下，当binwidth等于离散值的间隔时，每个bin仅包含单个离散取值的所有样本，此时count就是该取值的出现次数，代入公式后直接得到经验概率。
• 若不指定binwidth，ggplot会自动划分bin，可能出现单个bin包含多个离散值的情况，此时计算出的density不符合离散数据的经验概率逻辑，这也是stats::density不适合离散数据的原因——核密度本质是对连续数据的平滑估计。

3. 如何复现ggplot内部的计算过程？ #

可以手动模拟ggplot的统计变换步骤，完全复现其计算逻辑：

x <- c(1,1,2,2,3,4,5,5,5)
binwidth <- 1

# 步骤1：按照binwidth划分区间，每个离散值对应一个bin
bins <- cut(x, breaks = seq(min(x)-0.5, max(x)+0.5, by = binwidth), include.lowest = TRUE)

# 步骤2：统计每个bin内的样本计数
counts <- table(bins)

# 步骤3：按照density公式计算值
total_samples <- length(x)
density_vals <- as.numeric(counts) / (total_samples * binwidth)

# 查看结果，和手动计算的经验概率一致
density_vals
# 输出：0.2222222 0.2222222 0.1111111 0.1111111 0.3333333

内容的提问来源于stack exchange，提问作者salleuska