如何撰写含随机截距的混合效应逻辑回归结果数学方程？

我们开展了一项预测二分类疾病结局（是=1/否=0）的研究，采用随机截距混合效应逻辑回归模型，以下是模型的数学方程及参数代入说明：

模型核心变量定义 #

• 结局变量：$Y_{ij}$：第$j$家医院中第$i$个研究对象的疾病状态（1=患病，0=未患病）
• 固定效应变量：
  • $C_{ij}$：Complication1（1=存在并发症，0=无并发症）
  • $H_{ij}^M$：医院规模（中型，1=中型医院，0=非中型；参照组为小型医院）
  • $H_{ij}^L$：医院规模（大型，1=大型医院，0=非大型；参照组为小型医院）
  • $G_{ij}$：性别（1=女性，0=男性；参照组为男性）
• 随机效应：$u_j$：第$j$家医院的随机截距，服从正态分布 $u_j \sim \mathcal{N}(0, \sigma_u^{2)$，其中$\sigma_u}2$为随机截距的协方差

模型数学方程 #

1. 线性预测器与Logit链接 #

混合效应逻辑回归通过logit链接函数建立线性预测器与结局概率的关联：

首先定义线性预测器 $\eta_{ij}$：
$$
\eta_{ij} = \beta_0 + u_j + \beta_1 C_{ij} + \beta_2 H_{ij}^M + \beta_3 H_{ij}^L + \beta_4 G_{ij}
$$

通过logit链接转换为结局发生概率的表达式：
$$
\text{logit}\left(P(Y_{ij}=1|u_j)\right) = \eta_{ij}
$$

展开后（直观展示概率的对数比形式）：
$$
\text{log}\left(\frac{P(Y_{ij}=1|u_j)}{1-P(Y_{ij}=1|u_j)}\right) = \beta_0 + u_j + \beta_1 C_{ij} + \beta_2 H_{ij}^M + \beta_3 H_{ij}^L + \beta_4 G_{ij}
$$

2. 代入研究参数估计值 #

将研究得到的具体参数估计值代入后，方程为：
$$
\text{log}\left(\frac{P(Y_{ij}=1|u_j)}{1-P(Y_{ij}=1|u_j)}\right) = -1.32 + u_j + 0.20 C_{ij} - 0.07 H_{ij}^M + 1.33 H_{ij}^L + 0.14 G_{ij}
$$

其中随机截距的协方差估计值 $\hat{\sigma}_u^2 = 0.03$（SE=0.02，p=0.06），代表不同医院间的截距变异程度。

固定效应参数估计结果 #

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bigbigtree