如何计算圆切线上等腰三角形底边与其圆上平行投影线的距离？

1. 坐标系建立 #

设定底边中点（圆的切点）为原点 ( P(0,0) )，底边为x轴（切线），圆心 ( O ) 在y轴上（切线垂直于圆心与切点的连线），坐标为 ( (0, r)=(0,5) )。原等腰三角形顶点 ( Q ) 在 ( (0, -h)=(0,-4) )，底边端点为 ( B(\frac{c}{2},0)=(1.147,0) ) 和 ( A(-\frac{c}{2},0) )。

2. 腰的直线方程 #

以腰 ( QB ) 为例，两点 ( Q(0,-4) ) 和 ( B(1.147,0) ) 的斜率为：
[ k = \frac{0 - (-4)}{\frac{c}{2} - 0} = \frac{8}{c} \approx 3.487 ]
直线方程为：
[ y = \frac{8}{c}x - 4 ]

3. 求腰与圆的交点 #

圆的方程为：
[ x^2 + (y - 5)^2 = 25 ]
将直线方程代入圆方程，整理得关于 ( y ) 的二次方程：
[ (c^2 + 64)y^2 + (8c^2 - 640)y + 16c^2 = 0 ]
代入 ( c=2.294 )、( c^2≈5.262 ) 求解，得到两个根：

• ( y≈0.143 )（靠近底边的交点，非目标点）
• ( y≈8.49 )（目标交点的纵坐标）

4. 计算平行线距离 #

原底边在 ( y=0 )，目标平行线 ( CD ) 在 ( y≈8.49 )，两者距离为：
[ d = 8.49 - 0 ≈ 8.5 ]

若需精确表达式，可保留符号形式：
[ d = \frac{640 - 8c^2 + \sqrt{(8c^2 - 640)^2 - 64c^2(c2 + 64)}}{2(c^2 + 64)} ]
代入数值计算后结果约为8.5。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Colabs