如何用MATLAB的LMI求解器处理带等式约束的LMI可行性问题？

原问题中的约束包含**非线性双线性项$XY$**以及矩阵非奇异要求，而MATLAB的LMI求解器（无论是Robust Control Toolbox的lmilab还是YALMIP）仅能直接处理线性矩阵不等式或可转化为LMI的约束，因此需要通过变量替换或等价变换将原约束转化为可求解的形式。

核心思路：消除双线性项 #

原等式约束$M^T N = I - XY$可通过以下步骤转化：

• 利用$X>0$的正定性，将等式变形为$Y = X^{-1}(I - M^T N)$；
• $Y>0$的约束等价于$I - M^T N > 0$（因为正定矩阵$X^{-1}$与矩阵$A$的乘积正定，当且仅当$A$正定）；
• $M$、$N$的非奇异性可由$I - M^T N > 0$推导：$I - M^T N$正定可逆，因此$M^T N = I - (I - M^T N)$可逆，进而$M$、$N$均非奇异。

实现方案 #

方案1：使用YALMIP（更简洁，支持非线性SDP求解） #

YALMIP可直接处理双线性约束，并自动调用合适的求解器（如SEDUMI、SDPT3）：

% 替换为你的矩阵维度
n = 3;

% 定义决策变量
X = sdpvar(n,n);
Y = sdpvar(n,n);
M = sdpvar(n,n);
N = sdpvar(n,n);

% 构建约束
Constraints = [
    X > 0,          % X正定
    Y > 0,          % Y正定
    M'*N == eye(n) - X*Y  % 原等式约束
];

% 求解可行性问题
ops = sdpsettings('solver','sedumi');  % 选择求解器
result = solvesdp(Constraints,[],ops);

% 提取结果
if result.problem == 0
    X_val = value(X);
    Y_val = value(Y);
    M_val = value(M);
    N_val = value(N);
else
    disp('问题不可行');
end

方案2：使用Robust Control Toolbox的lmilab（仅处理线性约束） #

若需严格使用原生LMI工具箱，需将双线性项转化为线性约束：

% 替换为你的矩阵维度
n = 3;

% 初始化LMI系统
setlmis([]);

% 定义变量：X、K为对称正定矩阵，M、N为一般矩阵
X = lmivar(1,[n 1]);
K = lmivar(1,[n 1]);
M = lmivar(2,[n n]);
N = lmivar(2,[n n]);

% 约束1：X > 0
lmiterm([1 1 1 X],1,1);

% 约束2：K > 0（K = I - M^T N）
lmiterm([2 1 1 K],1,1);

% 约束3：M^T N + K = I（转化为两个LMI实现等式）
% 子约束3a：M^T N + K - I ≥ 0
lmiterm([3 1 1 K],1,1);
lmiterm([3 1 1 M],1,N,'t');  % 表示M'*N
lmiterm([3 1 1 0],-eye(n));

% 子约束3b：-(M^T N + K - I) ≥ 0 ⇒ M^T N + K - I ≤ 0
lmiterm([4 1 1 K],-1,1);
lmiterm([4 1 1 M],-1,N,'t');
lmiterm([4 1 1 0],eye(n));

% 生成LMI系统
lmis = getlmis;

% 求解可行性问题
[tmin,xfeas] = feasp(lmis);

% 提取变量值并计算Y
if tmin < 1e-5  % 判定可行（tmin接近0）
    X_val = dec2mat(lmis,xfeas,X);
    K_val = dec2mat(lmis,xfeas,K);
    M_val = dec2mat(lmis,xfeas,M);
    N_val = dec2mat(lmis,xfeas,N);
    Y_val = inv(X_val)*(eye(n) - K_val);  % 由Y = X^{-1}(I - M^T N)计算
else
    disp('问题不可行');
end

注意事项 #

• 若使用YALMIP，需确保已安装对应的求解器（如SEDUMI、SDPT3）；
• 矩阵维度需根据实际问题替换；
• 若问题不可行，可检查约束是否存在矛盾，或尝试调整初始变量猜测。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Optimal