墙绘机悬挂定位：不等长皮带下圆柱倾斜角及长度计算

1. 坐标系与几何建模 #

设定坐标系：

• 左挂钩坐标：(-D/2, 0)，右挂钩坐标：(D/2, 0)
• 圆柱中点目标坐标：(X, Y)
• 圆柱长度：C，倾斜角θ（顺时针为正，水平时θ=0）

圆柱两端点坐标：

• 左端点A：(X - (C/2)cosθ, Y - (C/2)sinθ)
• 右端点B：(X + (C/2)cosθ, Y + (C/2)sinθ)

绳长公式：
L = √[(X + D/2 - (C/2)cosθ)² + (Y - (C/2)sinθ)²]
R = √[(X - D/2 + (C/2)cosθ)² + (Y + (C/2)sinθ)²]

2. 平衡条件与倾斜角求解 #

均匀重量的圆柱重心与中点重合，平衡时两条绳子的延长线交点必须落在过中点的竖直线x=X上（拉力合力需竖直向上平衡重力）。通过联立绳子直线方程，推导得到关于θ的方程：

tanθ = (2XY) / (2X² + D²/2 - (CD/2)cosθ)

由于方程无法直接解析求解，采用迭代法近似计算：

• 初始值：取θ₀ = arctan( (D/2 - X)/Y )（即你最初的近似倾斜角）
• 代入方程右侧计算tanθ₁，得到θ₁ = arctan(计算结果)
• 重复迭代，直到相邻两次θ的差值小于设定精度（如0.001弧度）

3. 绳长计算 #

得到精准的θ后，代入第1节的绳长公式即可算出L和R。

4. 重量影响说明 #

均匀分布的重量下，总重量不影响倾斜角（拉力会按比例调整以平衡重力），因此计算时无需考虑重量参数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nik I.