Haskell的Bifunctor与范畴论双函子差异：我的理解是否有误？

范畴论中对双函子的定义是：

定义域为乘积范畴的函子：对于范畴C₁、C₂和D，函子F:C₁×C₂⟶D被称为从C₁和C₂到D的双函子

Haskell标准库中的Bifunctor类原始定义为：

class Bifunctor p where
  bimap :: (a -> b) -> (c -> d) -> p a c -> p b d

你提出的、试图贴合范畴论定义的MyBifunctor类：

class MyBifunctor p where
  myBimap :: ((a,c) -> (b,d)) -> p a c -> p b d

另外，自base 4.18.0版本起，Bifunctor类新增了量化约束：

class (forall a. Functor (p a)) => Bifunctor p where
    bimap :: (a -> b) -> (c -> d) -> p a c -> p b d

针对你的疑问逐一解答 #

1. 你的理解存在部分偏差，Haskell的Bifunctor完全符合范畴论双函子定义
   范畴论里乘积范畴C₁×C₂中的态射，是由C₁中的态射a→b和C₂中的态射c→d组成的成对独立态射，而非任意的(a,c)→(b,d)二元函数。Haskell的bimap参数正好对应这种成对态射——它接收两个独立的函数（对应乘积范畴的态射对），再作用于双函子实例，这完全匹配范畴论双函子对态射的映射要求。

2. Haskell的Bifunctor是标准范畴论双函子的Haskell实现
   新增的forall a. Functor (p a)约束，是要求当固定p的第一个参数时，它关于第二个参数是函子；同时，Bifunctor还隐含了固定第二个参数时关于第一个参数也是函子（可通过first f = bimap f id推导得到）。这正好对应双函子的核心性质：双函子F:C₁×C₂→D可拆解为两个方向的函子性，即固定一个参数后，剩余参数构成的函子，这和范畴论对双函子的要求完全一致。

你觉得它像“两个函子的乘积”，本质上是因为双函子本身就具备对两个参数分别的函子性，Haskell的Bifunctor只是用bimap把这两个函子性统一表达了出来。

3. MyBifunctor类不符合范畴论双函子的定义
   如前所述，范畴论乘积范畴的态射是成对的独立态射，不包含那些会让两个参数产生依赖的“交叉”函数（比如输入(a,c)后，根据c的值修改a的函数）。myBimap接收的任意(a,c)->(b,d)函数，覆盖了乘积范畴中不存在的态射类型，因此这个类对应的不是范畴论意义上的双函子，只是一种更宽泛的二元类型映射，不具备双函子的范畴论特性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者141592653