给定n-m层树结构，求深度优先搜索的节点总访问次数

问题分析 #

给定一棵三层树：根节点有n个子节点，每个子节点又有m个子节点（叶子节点）。需要计算深度优先搜索（DFS）遍历所有根到叶子路径时，节点的总访问次数（含重复访问，即回溯后再次访问节点也计入次数）。

推导过程 #

我们可以从具体场景拆解：

• 对于根节点的任意一个子节点A：
  • 访问A的第一个叶子节点时，需要依次访问根→A→叶子，共3次访问；
  • 访问A的第2到第m个叶子节点时，由于DFS回溯后已经处于A节点，只需访问A→叶子，每次仅2次访问；
  • 因此，单个子节点A对应的总访问次数为：3 + 2*(m-1) = 2m + 1。
• 根节点共有n个这样的子节点，因此总访问次数为n*(2m + 1)。

也可以通过总路径数和总节点数推导：

• 总路径数为n*m（每个根的子节点对应m条叶子路径）；
• 总节点数为1 + n + n*m（根节点 + n个子节点 + n*m个叶子节点）；
• 总访问次数 = 总路径数 + 总节点数 - 1，代入后化简结果与上述公式一致：n*m + (1 + n + n*m) -1 = n*(2m+1)。

示例计算 #

当n=30，m=35时：
总访问次数 = 30*(2*35 + 1) = 30*71 = 2130。

验证小例子 #

• 当n=1，m=2（对应问题中的示例场景）：
  总访问次数 = 1*(2*2+1)=5，与描述中的“两条路径共访问5个节点”完全匹配。
• 当n=2，m=1：
  总访问次数 = 2*(2*1+1)=6，对应两条独立路径的总访问次数3+3=6，符合预期。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user125535