scipy.integrate.solve_ivp的Radau方法：雅可比评估次数为何不等于函数评估次数？

问题 #

为何使用Radau方法运行scipy.integrate.solve_ivp时，雅可比评估次数不等于函数评估次数？具体而言，我的代码中雅可比在每一步都会变化，但仅被评估1到2次。

回答 #

Radau属于隐式Runge-Kutta方法，它的雅可比评估频率天生远低于函数评估次数，核心原因有这几点：

• 隐式方法的迭代逻辑：Radau在每个积分步中需要多次调用右端函数计算阶段值，但雅可比仅用于构建线性方程组的系数矩阵。求解器默认假设短时间内雅可比变化幅度足够小，会复用已评估的结果，避免重复计算的开销。
• 雅可比缓存机制：solve_ivp的Radau实现会缓存已计算的雅可比，只要当前步长调整在预设范围内、迭代精度满足要求，就不会重新评估雅可比。哪怕你的雅可比每步都变，求解器也不会主动检测这种变化，仅在迭代不收敛、步长被迫调整时才会触发重新评估。
• 手动干预方式：如果场景必须每步更新雅可比，可以显式指定jac参数为自定义的雅可比计算函数，同时缩小max_step增加步长调整频率，间接触发更多雅可比评估；或者在右端函数中引入微小扰动，让求解器精度检测机制认为需要重新计算雅可比（此为临时 workaround，不推荐常规使用）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Spaceman98