使用Python最小化对数似然估计Heston-Nandi模型参数遇问题求助

问题背景 #

我尝试用最大似然估计（MLE）求解Heston-Nandi模型参数，已编写目标函数及相关代码，股票对数收益率数组returnarr前30个值如下：

returnarr = filterdata['logreturn'].to_numpy(dtype=np.longdouble)
returnarr[0:30]

输出结果：

array([ 0.00075018, -0.00696353, -0.00080357,  0.00287779, -0.00384807,
       -0.00496853,  0.00608317, -0.00252242, -0.00731938,  0.01879965,
       -0.00673696, -0.00757294, -0.02209292,  0.01152935,  0.00609485,
        0.004072  , -0.01832714, -0.01604845,  0.0059958 ,  0.00251289,
        0.00740885, -0.01594026,  0.0076436 , -0.00298763,  0.00460656,
       -0.00237508,  0.0078305 ,  0.003722  ,  0.00649657])

定义的对数似然函数及相关代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# Define the log-likelihood function
def log_likelihood(parameters,returnarr):
    size=len(returnarr)
    phi = parameters[0]
    w = parameters[1]
    B = parameters[2]
    alpha = parameters[3]
    lambda1=parameters[4]
    epsilon = np.zeros(size, dtype='longdouble')
    variance = np.zeros(size + 1, dtype='longdouble')
    variance[0]=0.001

    for x,val in  enumerate(returnarr):
        epsilon[x] = (val - (rate + (lambda1 * variance[x]))) / np.sqrt(variance[x])
        variance[x+1] = w + (B * variance[x]) + (alpha * np.square(epsilon[x]-(phi*np.sqrt(variance[x]))))
        
    variance=variance[:-1]#remove last term
    log_likelihood_on_return = -0.5 * np.sum(np.log(variance) +np.square(epsilon))
    return log_likelihood_on_return  # Minimize the negative log-likelihood

尝试的参数求解代码：

initial_parameters=[0.01,0.01,0.01,0.01,0.01]
bounds = [(0, 1), (0, 1), (0, 1), (0, 1), (0, 1)]

result = minimize(log_likelihood, initial_parameters, args=(returnarr,),bounds=bounds)

运行后出现以下警告：

RuntimeWarning: overflow encountered in square
  variance[x+1] = w + (B * variance[x]) + (alpha * np.square(epsilon[x]-(phi*np.sqrt(variance[x]))))
RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars
  epsilon[x] = (val - (rate + (lambda1 * variance[x]))) / np.sqrt(variance[x])

解决建议 #

• 修复未定义变量rate：代码中rate变量未声明，这是引发数值异常的核心原因之一。需替换为实际的日度无风险利率（年化利率除以交易日数），若模型无需该项则直接删除。
• 调整参数初始值与边界：
  • Heston-Nandi参数有明确经济含义，不能统一设为(0,1)：
    • B（持续性参数）应接近1，初始值设为0.95，边界设为(0.8, 0.999)；
    • alpha（方差冲击系数）量级极小，初始值设为1e-6，边界设为(1e-8, 1e-3)；
    • w（长期方差项）对应合理的长期方差水平，初始值设为1e-5，边界设为(1e-6, 1e-2)；
    • phi和lambda1初始值调整为0.1，边界可设为(0, 2)。
• 添加数值稳定性保护：
  • 计算平方根前确保方差大于极小值，避免除以0或无效开方：

    sqrt_var = np.sqrt(max(variance[x], 1e-10))
    epsilon[x] = (val - (rate + lambda1 * variance[x])) / sqrt_var
    

  • 限制方差最大值，防止溢出：

    variance[x+1] = w + B * variance[x] + alpha * np.square(epsilon[x] - phi * sqrt_var)
    variance[x+1] = min(variance[x+1], 1e3)  # 截断过大的方差值
    

• 优化求解器配置：
  • 显式指定支持边界的L-BFGS-B求解器，调整迭代次数与收敛阈值：

    result = minimize(log_likelihood, initial_parameters, args=(returnarr,),
                      bounds=bounds, method='L-BFGS-B',
                      options={'maxiter': 1000, 'ftol': 1e-8})
    

• 过滤无效参数组合：在似然函数末尾添加判断，若计算结果为NaN/inf则返回极大值，跳过无效参数：

  if np.isnan(log_likelihood_on_return) or np.isinf(log_likelihood_on_return):
      return 1e10
  return log_likelihood_on_return
  

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ranit Bagchi