如何通过修改现有控制点位置扩展NURBS曲线且保持原有形状

已知定义 #

NURBS曲线表达式 #

$$C(t) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,k}(t) w_i B_i}{\sum_{i=0}^{n} N_{i,k}(t) w_i}$$
其中：

• $B_i$：全部控制点
• $t$：曲线上点的参数
• $w_i$：对应控制点的权因子
• $N_{i,k}(t)$：k阶B样条基函数

B样条基函数递推定义 #

$$
\begin{cases}
N_{i,1}(t) = \begin{cases}
1, & X_i \leq t < X_{i+1} \
0, & \text{其他情况}
\end{cases} \
N_{i,k}(t) = \frac{t - X_i}{X_{i+k-1} - X_i} N_{i,k-1}(t) + \frac{X_{i+k} - t}{X_{i+k} - X_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)
\end{cases}
$$
其中：

• $k$：曲线阶数（对应曲线次数为$k-1$）
• $X_i$：节点向量的第$i$个节点

延长曲线的控制点调整方法 #

要仅通过调整（或外推添加）控制点来延长曲线，同时完全保留原有曲线形状，核心是保证原曲线端点处的各阶导数不变，以此推导控制点的外推公式，分两种常见节点类型处理：

1. 均匀非Clamped曲线（端点节点无重复） #

对于k阶曲线，取末端相邻的2个控制点$B_{n-1}$、$B_n$，沿原末端切线方向外推新控制点，公式为：
$$B_{n+m} = B_n + m \cdot (B_n - B_{n-1})$$
其中$m$为外推步数（$m=1$对应延长一段，$m=2$对应延长两段，以此类推）。

这种方法下，原曲线段的基函数权重和控制点组合完全不变，延长部分是原末端切线方向的自然延伸，不会改变原有曲线的形状。

2. Clamped曲线（端点节点重复k次，曲线端点固定在首个/末个控制点） #

对于k阶Clamped曲线，末端的$k$个控制点决定了端点处的各阶导数，要保持导数不变，外推新控制点的公式为：
$$B_{n+1} = k \cdot B_n - (k-1) \cdot B_{n-1}$$
如果需要多次延长，可重复应用此公式，依次推导后续控制点：
$$B_{n+2} = k \cdot B_{n+1} - (k-1) \cdot B_n$$

补充说明 #

• 若需严格保持NURBS曲线的有理特性，外推控制点的同时需同步外推对应权因子：均匀非Clamped场景下用$w_{n+m} = w_n + m \cdot (w_n - w_{n-1})$，Clamped场景下用$w_{n+1} = k \cdot w_n - (k-1) \cdot w_{n-1}$。
• 若仅允许修改现有控制点，可将原末端的$k$个控制点按上述规则调整；更常用的方式是添加外推得到的新控制点，能更直观地保证原曲线形状完全不变。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3755529