求解满足x^y = y^x的x与y值的数学方法

情况1：(x \neq y) #

首先对等式两边取自然对数（ln）：
$$\ln(x^y) = \ln(y^x)$$
利用对数性质 (\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)) 化简：
$$\Rightarrow y \cdot \ln(x) = x \cdot \ln(y)$$
两边同时除以 (xy)（(x,y>0)，满足对数定义域要求），得到：
$$\Rightarrow \frac{\ln(x)}{x} = \frac{\ln(y)}{y}$$

设函数 (f(x) = \frac{\ln(x)}{x})，方程的解对应直线 (y=k)（(k) 为常数）与 (f(x)) 图像的两个不同交点的横坐标。

通过分析函数 (f(x)) 的性质可以定位所有非相等解：

• 求导得 (f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2})
• 当 (0 < x < e) 时，(f'(x) > 0)，(f(x)) 单调递增；当 (x > e) 时，(f'(x) < 0)，(f(x)) 单调递减
• (f(x)) 在 (x=e) 处取得最大值 (f(e) = \frac{1}{e})
• 当 (x \to 0^+) 时，(f(x) \to -\infty)；当 (x \to +\infty) 时，(f(x) \to 0^+)

从图像特征可得：

• 当 (0 < k < \frac{1}{e}) 时，直线 (y=k) 与 (f(x)) 有两个交点：一个在 ((1,e)) 区间，另一个在 ((e,+\infty)) 区间
• 整数解中，(f(2) = \frac{\ln2}{2})，(f(4) = \frac{\ln4}{4} = \frac{2\ln2}{4} = \frac{\ln2}{2})，因此 (2^4 = 4^2 = 16)，这就是容易被遗漏的整数解
• 除整数解外，存在无数组非整数解：比如对任意 (x \in (1,e))，都有唯一的 (y \in (e,+\infty)) 满足等式

情况2：(x = y) #

所有满足 (x=y>0) 的实数都是方程的解，例如 (x=y=1)、(x=y=3) 等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AlHal