如何在wxMaxima中定义递推实现反转索引的有限连分数

原递推式生成的是从下到上索引的有限连分数：

remarray(P)$
P[0]:a[0];
P[n]:=a[n]+1/P[n-1];

调用P[3]会得到 a[3] + 1/(a[2] + 1/(a[1] + 1/a[0]))，即从a[3]开始向下展开到a[0]的连分数。

若要实现从上到下索引的效果（比如P[3]返回a[0] + 1/(a[1] + 1/(a[2] + 1/a[3]))），且无需额外变量（如尝试方案中的M），可以通过以下两种方式实现：

方法一：利用原有递推式+索引反转替换 #

先保留原有的从下到上递推逻辑，再通过索引反转替换得到从上到下的结果：

remarray(R)$
// 定义从下到上的连分数递推
R[0] := a[0];
R[k] := a[k] + 1/R[k-1];

// 定义从上到下的连分数，通过反转索引替换实现
P[k] := subst(makelist(a[i] = a[k - i], i, 0, k), R[k]);

调用P[3]、P[4]即可直接得到对应深度的从上到下连分数结果，无需额外变量。

方法二：递归替换的直接递推 #

直接定义从上到下的递归逻辑，通过动态替换索引实现递推：

remarray(P)$
P[n] := block(
    if n = 0 then a[0]
    else a[0] + 1/(subst(lambda([x], if op(x) = 'a then a[arg(x)+1] else x), P[n-1]))
);

该方法通过Lambda函数将前一次递推结果中的所有a[i]替换为a[i+1]，再构建新的连分数层，调用P[k]即可直接返回目标结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Haub Michael