两个正变量取min的非线性约束线性化（NLP场景求解困惑）

已知A、B始终为正，以下是无需二进制变量的精确处理方式，不用依赖近似方法：

1. 约束转化法（最常用） #

如果是要让min(A,B)满足某个约束（比如min(A,B) ≥ C），直接拆成两个线性约束即可：

• A ≥ C
• B ≥ C

如果是目标函数包含min(A,B)（比如要最大化/minimize min(A,B)），可以引入新变量t，添加以下约束：

• t ≤ A
• t ≤ B
• t ≥ 0
  之后将目标函数替换为对t的优化。这种方式完全精确，且约束都是线性的，NLP求解器可以直接处理。

2. 精确光滑函数表达 #

如果必须将min(A,B)写成单一非线性表达式（比如嵌入复杂方程），可以用以下完全精确的形式：
min(A,B) = (A + B - |A - B|)/2
大部分NLP求解器支持绝对值这类分段光滑函数。如果求解器不支持绝对值，可替换为平方开根号的形式：
min(A,B) = (A + B - sqrt((A - B)^2))/2
该表达式无任何近似误差，因为sqrt((A-B)^2)等价于|A-B|，对正实数A、B完全适用。

3. 放弃不必要的近似 #

你之前尝试的带误差项的近似方法完全没必要，上述两种方法都能精确实现min(A,B)的逻辑，不会引入精度损失。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rogério Rocha