R语言glmnet包中family=Gamma(link="log")对应的分布是什么？

• Gamma分布本身包含两个核心参数：形状参数（shape）和尺度参数（scale），在广义线性模型（GLM）语境下（比如R语言的glm函数），family=Gamma(link="log")对应的是通用Gamma分布族，并非仅限定为指数分布（形状参数=1的特例）。

• 该设定下的Gamma分布概率密度函数为：

  f(y; shape, scale) = (y^(shape-1) * exp(-y/scale)) / (scale^shape * Γ(shape))
  

  其中分布均值$\mu = shape \times scale$，link="log"指定了对数链接函数，即线性预测器$\eta$满足$\log(\mu) = \eta$，模型通过线性组合预测的是均值的对数。

• 你猜测的“Gamma(1, 尺度参数)”即指数分布，只是Gamma分布族的一个特例，但family=Gamma(link="log")并不限制形状参数为1。在GLM中，形状参数通常作为分散参数，可通过数据自动估计（比如R的glm默认会完成这个估计）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jackie