集合论中已知关系r ∈ A ↔ B，如何获取集合A、B？是否可行？

结论先行 #

仅靠关系 r ∈ A ↔ B（即r是A到B的二元关系，r ⊆ A×B），不可能精确还原原始集合A和B，只能得到二者的子集：

• 能确定A的子集：r的定义域 dom(r) = { x | ∃y, (x,y) ∈ r }——也就是r里所有有序对的第一个元素组成的集合
• 能确定B的子集：r的值域 ran(r) = { y | ∃x, (x,y) ∈ r }——也就是r里所有有序对的第二个元素组成的集合

为什么不行？ #

二元关系的定义是r是A×B的子集，但A中完全可以存在从未在r的有序对里出现过的元素（比如A是全体整数，r只包含(1,2),(3,4)，那A里的0、5等元素都不在r的定义域里），同理B也可能有未被r关联的元素。仅通过r本身，根本没法发现这些“没参与关系”的元素，自然还原不了原始A和B。

怎么才能达成目标？ #

如果一定要得到和原始A、B一致的集合，必须补充额外条件：

• 若r是满射关系：B中每个元素都在r的值域里，此时ran(r) = B；如果r同时是双射（单射+满射），那dom(r) = A且ran(r) = B
• 若有外部信息明确给出A或B的范围（比如A被定义为某个已知全集的子集），可以结合r的定义域/值域和外部信息锁定A、B

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PythonLee