如何对正方形网格进行对角线分组以实现风电场布局验证

我有一个代表正方形网格的布尔值字符串：

0100001110000100

（对应4×4网格可视化：部分位置标记为1，其余为0）

我需要编写一个验证程序，按对角线分组检查该网格，确保每个对角线组中'1'的数量不超过1个。（示例中的第5组存在两个1，对应可视化：该对角线组的两个位置均为1）

为此，我需要将网格整理为多个集合，再检查每个集合中'1'的数量是否超标。以下是按分组排列的字符及其在原字符串中的位置：

0       0  
01      4  1
100     8  5  2
0010    12 9  6 3
101     13 10 7
00      14 11 
0       15 

我一直在尝试找出字符串位置与所属分组之间的数学关系，但数学基础薄弱，迟迟没有进展。

参考我已实现的水平验证方法，希望用LINQ和集合操作而非繁琐循环来完成这个对角线验证，该场景来自风电场代码练习：

public bool HorizontalValidate(string windfarm)
{
    var farmSize = (int) Math.Sqrt(windfarm.Length);

    var rows = Enumerable.Range(0, farmSize)
        .Select(x => windfarm.Substring(x * farmSize, farmSize))
        .ToList();

    if (rows.Select(x => x.Count(y => y == '+')).Max() > 1)
        return false;

    return true;
}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eval Knievel