手动实现协方差时三种方式结果不一致，求排查Bug

你的方法3在数学展开时出现了错误，核心问题是最后一项的求和步骤遗漏了样本量倍数：

我们重新推导协方差的分子展开式：

样本协方差的分子为 $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
展开后得到：$\sum x_i y_i - \bar{x}\sum y_i - \bar{y}\sum x_i + \sum \bar{x}\bar{y}$

注意最后一项 $\sum \bar{x}\bar{y}$，由于$\bar{x}$和$\bar{y}$是常数，对n个样本求和的结果是 $n \times \bar{x}\bar{y}$，但你的方法3里直接写了 $\bar{x}\bar{y}$，漏掉了乘以样本量n。

修正后的方法3代码如下：

(
  sum(foo*bar) - 
    mean(bar)*sum(foo) -
    mean(foo)*sum(bar) + 
    n * mean(foo)*mean(bar)  # 补充乘以样本量n
) / (n-1)

运行修正后的代码，结果会和方法1、方法2完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JCWong