Julia中1. /与1 ./的运算差异疑问：结果为何不符？

核心差异：运算符本质不同 #

• ./ 是逐元素广播除法：对操作数的对应元素逐一执行除法，标量会自动扩展为与数组同维度的结构，确保每个元素对应计算。
• / 是矩阵右除法：对应线性代数中的最小二乘求解，当左操作数是标量时，Julia会将其视为1×1矩阵，执行矩阵层面的除法运算。

具体计算过程拆解 #

1. 1. / Δx 的计算逻辑

Δx是3×1的列向量，1. 被视为1×1矩阵。矩阵右除法 A / B 等价于求解线性方程组 B * X = A 的最小二乘解，具体公式为：

(Δx' * Δx)⁻¹ * Δx' * 1.

代入数值计算：

• 先计算 Δx' * Δx：2.0² + 4.0² + 8.0² = 84.0
• 求逆得到 1/84 ≈ 0.01190476
• 再乘以 Δx'（即行向量 [2.0, 4.0, 8.0]），得到：
  [2/84, 4/84, 8/84] = [1/42, 1/21, 2/21]
  对应数值就是你看到的 [0.0238095, 0.047619, 0.0952381]，结果是1×3的行向量。

2. 1 ./ Δx 和 1. ./ Δx 的计算逻辑

广播机制会将标量（1或1.）自动扩展为与Δx同维度的数组，然后逐元素执行除法：

• 1 / 2.0 = 0.5
• 1 / 4.0 = 0.25
• 1 / 8.0 = 0.125
  结果是3×1的列向量，完全符合逐元素取倒数的预期。

比值倒置的原因 #

• result1 的元素与Δx的元素成正比（因为是最小二乘解的系数），所以 result1[3]/result1[1] = (8/84)/(2/84) = 4.0
• result2 的元素与Δx的元素成反比（逐元素取倒数），所以 result2[3]/result2[1] = (1/8)/(1/2) = 0.25

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nick Brady