算法作业求助：删除K个区间后最大化剩余区间覆盖点数

1. 区间排序与预处理

   • 先将所有区间按右端点从小到大排序，这是后续处理的核心前提。
   • 计算每个区间的覆盖点数：对于区间[l, r]，覆盖点数为r - l + 1，记为该区间的长度。

2. 快速查找非重叠前驱

   • 对每个区间i，用二分查找找到最后一个与i不重叠的区间prev[i]（即右端点 ≤ i的左端点的最大区间索引）。由于区间已按右端点排序，这一步可以在O(NlogN)时间内完成。

3. 动态规划+单调队列优化

   • 定义状态dp[j][i]：前i个区间中删除j个，且保留第i个区间时的最大覆盖点数。最终答案是所有dp[j][i]（j ≤ K）中的最大值。
   • 状态转移分两种场景：
     • 若保留的第i个区间与之前保留的区间无重叠：此时需从prev[i]之前的区间中选择，转移时取dp[j-d][k] - r[k]的最大值（d为中间删除的区间数，k为之前保留的区间索引），再加上当前区间的右端点r[i]。
     • 若保留的第i个区间与之前保留的区间有重叠：此时取dp[j-d][k]的最大值，加上当前区间的长度。
   • 用单调队列维护每种j对应的最大值，将时间复杂度从O(N*K²)优化到O(N*K)，适配N=1e5、K=100的规模。

4. 关键注意点

   • 贪心算法（按起点、终点、长度排序）无法保证全局最优，因为删除K个区间的选择需要权衡全局重叠情况，局部最优不一定能得到全局最大覆盖。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者guitarMan