求协助：在CPLEX OPL中实现非线性约束的线性化编码

一、约束分析 #

根据您提供的约束形式：

对所有 j∈J, t∈T：
( l_{jt}^y = \frac{\sum_{k∈K} p_{jkt}^y \cdot v_{jk}}{\sum_{k∈K} v_{jk}} )

如果( \sum_{k∈K} v_{jk} )是已知参数（常数），该约束本质是线性约束，可直接转换为线性形式；若( v_{jk} )是变量，则属于分式非线性约束，需进行线性化处理。

二、线性约束实现（当( \sum v_{jk} )为常数时） #

将原约束两边乘以分母（常数），转换为线性等式：

// 预计算每个j对应的分母总和
float denom[j in J] = sum(k in K) v_jk;

forall(j in J, t in T) {
  denom[j] * l_jt_y[j][t] == sum(k in K) (p_jkt_y[j][k][t] * v_jk);
}

三、非线性约束的线性化（当( v_{jk} )为变量时） #

若分母是变量（即( \sum v_{jk} )随决策变化），需引入辅助变量完成线性化：

1. 设( D_j = \sum_{k∈K} v_{jk} )（辅助变量，代表分母）
2. 引入新变量( w_{jkt} = p_{jkt}^y / D_j )，原约束变为( l_{jt}^y = \sum_{k∈K} w_{jkt} \cdot v_{jk} )
3. 添加线性约束关联( w_{jkt} )与( p_{jkt}^y )、( D_j )：

// 定义辅助变量
dvar float D[j in J] >= 1e-6; // 设极小下界避免除以0，可根据实际调整
dvar float w[j in J][k in K][t in T];

// 关联D与v_jk
forall(j in J) {
  D[j] == sum(k in K) v_jk;
}

// 线性化p_jkt_y = w_jkt * D[j]（假设变量非负）
forall(j in J, k in K, t in T) {
  // 设p_jkt_y的上界为U_p，D[j]的上界为U_D
  p_jkt_y[j][k][t] <= U_D * w_jkt[j][k][t];
  p_jkt_y[j][k][t] >= 1e-6 * w_jkt[j][k][t];
  w_jkt[j][k][t] <= U_p / 1e-6;
}

// 原约束转换为线性形式
forall(j in J, t in T) {
  l_jt_y[j][t] == sum(k in K) (w_jkt[j][k][t] * v_jk);
}

说明：若变量存在负取值，需额外引入0-1辅助变量处理符号问题，可根据实际场景调整约束细节。

四、直接非线性求解（不线性化） #

CPLEX支持部分非线性约束的求解，若问题规模较小，可直接编写非线性约束：

forall(j in J, t in T) {
  l_jt_y[j][t] == (sum(k in K) (p_jkt_y[j][k][t] * v_jk)) / (sum(k in K) v_jk);
}

注意：非线性求解效率远低于线性求解，大规模问题不建议使用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Diem Nguyen