使用MKL LAPACK的sgeev函数计算特征向量结果异常的问题排查

首先别担心，你的sgeev调用其实是正确的——特征向量看起来不符合预期，本质是因为特征向量的非唯一性和LAPACK的输出规范导致的，具体来说有三个关键点：

1. 特征向量是「方向」而非「固定向量」 #

特征向量的定义是：若$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，则对于任意非零标量$k$，$k\mathbf{v}$也是对应$\lambda$的特征向量。同时，对于重特征值（比如你的例子中$\lambda=2$是二重根），特征向量构成一个线性空间，这个空间的基可以有多种不同的选择（只要线性无关），sgeev返回的基和你预期的只是不同的合法基而已。

比如你预期的$\lambda=2$的特征向量是$[-1,0,3]^{T$和$[1,1,0]}T$，而sgeev返回的对应列是这两个向量的线性组合，同样满足$A\mathbf{v}=2\mathbf{v}$，完全正确。

2. sgeev返回的是归一化的特征向量 #

LAPACK的sgeev函数默认返回的特征向量是欧几里得范数为1的（即每个列向量的元素平方和等于1）。你预期的是未归一化的整数形式向量，只需要对sgeev的结果做缩放就能得到：

• 比如你预期的$\lambda=1$的特征向量$[1,1,1]^T$，归一化后就是$[1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}] \approx [0.577,0.577,0.577]$，和你输出的vr第一列（符号相反，符号不影响，因为$-1\times\mathbf{v}$也是特征向量）一致。

3. 特征值的排序问题 #

LAPACK的sgeev返回的特征值是按实部从小到大排序的（实部相等时按虚部排序）。你的特征值$\lambda=1$实部小于2，所以会排在第一个位置，对应的特征向量是vr的第一列；而你预期的$\lambda=2$的向量排在前两位，这只是输出顺序的差异，不是错误。

验证你的结果是否正确 #

可以通过简单计算验证：取vr的任意一列，比如第一列$\mathbf{v} = [-0.577,-0.577,-0.577]^T$，计算$A\mathbf{v}$：
$$
A\mathbf{v} = \begin{bmatrix}-1&3&-1\-3&5&-1\-3&3&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-0.577\-0.577\-0.577\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.577\-0.577\-0.577\end{bmatrix} = 1\times\mathbf{v}
$$
完全符合特征值1的定义，说明结果是对的。

如何得到你预期的特征向量形式 #

如果需要得到整数形式的特征向量：

• 先确认每个特征值对应的特征向量空间；
• 对sgeev返回的归一化向量进行缩放（乘以合适的标量），或者直接解线性方程组$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$得到你想要的基。

比如对于$\lambda=2$，解$(A-2I)\mathbf{x}=0$，即：
$$
\begin{bmatrix}-3&3&-1\-3&3&-1\-3&3&-1\end{bmatrix}\mathbf{x}=0
$$
可以得到两个线性无关的解，比如$[-1,0,3]^{T$和$[1,1,0]}T$，这就是你预期的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Laetis