向量投影至平面的公式失效问题排查求助

• 核心错误是混淆了向量点积和叉乘的几何性质：
  • 向量垂直的判定依据是点积为0，而非叉乘为0
  • 只有向量**平行（共线）**时，叉乘结果才是零向量
• 验证你的计算结果：
  执行np.dot(p, n)会得到0，说明投影向量p确实和法向量n垂直，完全符合平面投影的理论要求；而你得到的非零叉乘结果，正是两个非零垂直向量的正常表现。
• 额外提示：你注释中标注n是单位法向量，但实际np.linalg.norm(n)≈0.97，并非单位向量。不过你使用的是通用投影公式（兼容任意非零法向量），所以这一点不影响结果正确性；如果后续将n归一化，公式可以简化为p = v - np.dot(v, n) * n（无需除以模长平方）。

附验证代码片段：

import numpy as np

n = np.array([0.6,  0.3, -0.7])
v = np.array([-415, 212, 180])

p =  v - np.dot(v, n) / (np.linalg.norm(n)**2) * n
print(np.dot(p, n))  # 输出约0，验证垂直关系

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Carlos