如何优化定义域为三角形的二维函数绘图？含等边三角形展示需求

针对你要绘制函数f(x,y)=x²+y²（定义域为x≥0、y≥0、x+y≤1）的需求，这里提供两种优化方案：一种是在原坐标系中仅保留目标三角形区域并调整视觉比例为等边；另一种是通过坐标变换将区域映射为标准等边三角形。

方案1：原坐标系下保留目标区域并视觉化为等边三角形 #

实现代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def compute_function(x, y):
    return x**2 + y**2

# 生成x,y网格
x = np.arange(0, 1, 0.01)
y = np.arange(0, 1, 0.01)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = compute_function(X, Y)

# 标记并隐藏超出定义域的区域（x+y>1）
mask = X + Y > 1
Z[mask] = np.nan

# 创建绘图对象
fig, ax = plt.subplots()
im = ax.imshow(Z, cmap='RdBu', extent=(0, 1, 0, 1), origin='lower')

# 添加颜色条
plt.colorbar(im)

# 调整纵横比，让直角三角形视觉上等边
# 等边三角形高为√3/2，因此y轴单位长度需对应x轴的√3/2倍，纵横比设为2/√3
ax.set_aspect(2 / np.sqrt(3))

# 标注坐标轴与斜边
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.plot([0, 1], [1, 0], 'k--', label='x+y=1')
ax.legend()

plt.show()

关键细节 #

• 隐藏无关区域：通过Z[mask] = np.nan将x+y>1的区域设为无效值，imshow会自动跳过这些区域的渲染，只保留目标三角形。
• 视觉等边调整：利用ax.set_aspect(2/np.sqrt(3))调整坐标轴比例，让原本的直角三角形在视觉上呈现为等边三角形——等边三角形的高是边长的√3/2倍，这个比例能让y轴的显示长度匹配等边三角形的高度要求。

方案2：坐标变换为标准等边三角形 #

如果需要将定义域真正映射为等边三角形坐标系（而非仅视觉调整），可以通过坐标变换实现：

实现代码 #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def compute_function(x, y):
    return x**2 + y**2

# 生成原坐标系网格
x = np.arange(0, 1, 0.01)
y = np.arange(0, 1, 0.01)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 坐标变换：将直角三角形映射为等边三角形
# (x,y) → (u,v)，其中u = x + y/2，v = (y*√3)/2
U = X + Y / 2
V = (Y * np.sqrt(3)) / 2

# 计算函数值并隐藏超出定义域的区域
Z = compute_function(X, Y)
mask = X + Y > 1
Z[mask] = np.nan

# 使用pcolormesh绘制变换后的区域（适配非规则网格）
fig, ax = plt.subplots()
im = ax.pcolormesh(U, V, Z, cmap='RdBu')

# 添加颜色条
plt.colorbar(im)

# 保持坐标轴等比例，确保等边三角形显示正确
ax.set_aspect('equal')

# 标注坐标轴与三角形顶点
ax.set_xlabel('u')
ax.set_ylabel('v')
ax.scatter([0, 1, 0.5], [0, 0, np.sqrt(3)/2], c='black', s=40, label='Vertices')
ax.legend()

plt.show()

关键细节 #

• 坐标变换逻辑：变换公式将原三角形的三个顶点(0,0)、(1,0)、(0,1)映射为(0,0)、(1,0)、(0.5, √3/2)，构成标准等边三角形。
• 绘图选择：使用pcolormesh而非imshow，因为变换后的网格不再是规则矩形，pcolormesh能更好地处理非规则坐标映射的渲染。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Erel Segal-Halevi