numpy polyroots中旋转伴随矩阵的误差降低原理及等价性疑问

为什么旋转后的伴随矩阵与原矩阵得到的根相同？ #

首先明确：代码里的[::-1,::-1]是对矩阵做上下翻转+左右翻转的旋转操作，旋转后的矩阵特征值是原伴随矩阵特征值的倒数（根为0的情况除外）。但NumPy在后续步骤中会将这些特征值再取倒数，最终结果和直接用原伴随矩阵求根完全一致。

从数学层面看，原伴随矩阵对应多项式 ( P(x) = c_0 + c_1x + ... + c_nx^n )，它的特征值就是 ( P(x)=0 ) 的根。旋转后的矩阵对应的是反转多项式 ( Q(x) = c_n + c_{n-1}x + ... + c_0x^n = x^n P(1/x) )，显然 ( Q(r)=0 ) 等价于 ( P(1/r)=0 )（当r≠0时），所以Q(x)的根是P(x)根的倒数。只要对旋转矩阵的特征值取倒数，就能得到原多项式的根。

为什么旋转伴随矩阵能降低误差？ #

这是数值线性代数里的数值稳定性优化：

• 当多项式的根模长差异极大时（比如有的根远大于1，有的远小于1），直接构造原伴随矩阵求特征值，会因矩阵条件数过高导致数值误差被放大。
• 旋转后的伴随矩阵对应反转多项式，其根是原根的倒数，相当于把原多项式中“模长过小的根”转化为“模长过大的根”，反之亦然。这样求特征值时，矩阵的条件数更优，能减少浮点运算带来的误差，取倒数后得到的原根精度更高。
• 简单来说，这种操作把数值计算中易出错的部分转移到更稳定的区间，最终提升了整体求根的精度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者harsanyidani