欧拉法与四阶龙格-库塔法误差计算及步长调整后误差求解

误差缩放原理 #

• 简单欧拉法: 属于一阶数值方法，全局截断误差与步长 ( h ) 成正比（即 ( O(h) )）。步长从 ( h_1 ) 调整到 ( h_2 ) 时，误差缩放关系为：
  [
  a_2 = a_1 \times \left( \frac{h_2}{h_1} \right)
  ]
  注：你之前的公式步长比写反了——步长越大，误差会随之增大。
• 四阶龙格-库塔法: 属于四阶数值方法，全局截断误差与步长 ( h ) 的四次方成正比（即 ( O(h^4) )）。误差缩放关系为：
  [
  b_2 = b_1 \times \left( \frac{h_2}{h_1} \right)^4
  ]

已知参数 #

h1 = 10^-5 = 0.00001
a1 = 3.0 * 10^-3 = 0.003
b1 = 0.2 * 10^-12 = 2.0 * 10^-13
h2 = 5 * 10^-3 = 0.005

误差计算 #

1. 欧拉法误差 ( a_2 )
   先算步长比：
   [
   \frac{h_2}{h_1} = \frac{0.005}{0.00001} = 500
   ]
   代入公式得：
   [
   a_2 = 0.003 \times 500 = 1.5
   ]

2. 四阶龙格-库塔法误差 ( b_2 )
   计算步长比的四次方：
   [
   \left( \frac{h_2}{h_1} \right)^4 = 500^4 = 6.25 \times 10^{10}
   ]
   代入公式得：
   [
   b_2 = 2.0 \times 10^{-13} \times 6.25 \times 10^{10} = 0.0125
   ]

最终结果 #

• 步长调整为 ( h_2 ) 后，欧拉法误差 ( a_2 = 1.5 )
• 四阶龙格-库塔法误差 ( b_2 = 0.0125 )

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Muhab Joumaa