是否存在无元素需比较n-1次的比较排序？n-2步能否完成排序？

1. 是否存在一种比较排序算法，使得没有任何元素需要进行n-1次比较？
2. 两种受限场景下能否完成排序（所有石头重量均不相等）：
   • 场景一：多人并行比较，每个时间步可同时进行多组两两比较，但总时间步只有n-2个
   • 场景二：单人比较，每块石头被拿起（参与比较）n-2次后会自燃（即每个元素最多参与n-2次比较）

注：尝试过归并排序、插入/选择排序、Timsort、奇偶并行排序等算法，总能找到需要某个元素与其他所有元素比较的示例。

核心结论 #

两种场景下无法保证对所有输入完成排序，本质原因在于比较排序的全序关系要求，与限制条件存在不可调和的矛盾。

1. 从比较排序的本质逻辑分析 #

比较排序的过程可以抽象为一张有向无环图（DAG）：每个元素是图中的节点，每次比较得出a > b时，就添加一条从a指向b的有向边。排序完成的标志是，这张图中任意两个节点之间都存在明确的路径（即所有元素的相对大小关系都能被确定），且存在包含所有节点的拓扑序。

对于n个不同元素的排序，我们需要明确所有元素的全序关系，而如果每个元素最多参与n-2次比较，意味着每个元素必然至少和一个其他元素没有直接或间接的比较关联——因为一个元素要确定和其他n-1个元素的大小关系，至少需要参与n-1次直接/间接关联的比较（比如通过中间元素传递关系，但本质上这个元素的比较链需要覆盖所有其他元素）。

2. 反证法推导矛盾 #

假设存在满足条件的排序算法，即所有元素的比较次数都≤n-2：

• 取任意元素x，它最多和n-2个元素有直接比较关系，那么必然存在一个元素y，x与y从未直接比较。
• 同时，由于x的比较次数限制，不存在第三个元素z，同时与x、y都有比较关系（否则x可以通过z间接推导和y的大小关系，但这意味着x的比较次数需要包含与z的比较，而y的比较次数也需要包含与z的比较，当n>3时，这种覆盖所有元素的推导链必然会导致某个元素的比较次数突破n-2）。
• 最终x和y的相对大小完全无法确定，排序自然无法完成。

对于并行时间步的场景，n-2个时间步最多能构建的DAG最长路径长度为n-2，但排序所需的全序关系对应一条长度为n-1的链式路径（覆盖所有n个元素的大小传递链），n-2的时间步不足以构建这样的路径，必然会留下至少一对元素的大小关系无法确定。

3. 简单案例验证 #

以n=3为例：

• 场景二要求每个元素最多参与1次比较（n-2=1），最多只能完成1次两两比较，剩下的一个元素与另外两个的大小关系完全未知，无法排序。
• 场景一只有1个时间步，同样只能完成1次比较，无法确定三个元素的全序。

以n=4为例：
即使我们让每个元素参与2次比较，比如完成a>b、a>c、d>b、d>c这4次比较，a和d之间既没有直接比较，也没有中间元素能传递两者的大小关系，最终无法确定a和d的顺序，排序失败。

特殊情况说明 #

如果输入元素本身接近有序（比如已经是半有序状态），可能在限制条件下完成排序，但这只是特殊情况，无法满足排序算法对任意输入都能正确排序的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user4858144